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定理已证明

泰勒斯截线定理

命题陈述

设三角形 ABCABC 中 D∈ABD \in AB,E∈ACE \in AC。那么 DE∥BCDE \parallel BC 当且仅当 ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}。

为什么成立?

平行线从顶点切出一个与原三角形相似的小三角形,而相似三角形的所有长度都按同一比例缩放——因此两条边必须按相同的比例被分割。

证明思路

首先假设 DE∥BCDE \parallel BC。比较 S△BDES_{\triangle BDE} 与 S△CDES_{\triangle CDE}:这两个三角形有公共底边 DEDE,而 DE∥BCDE \parallel BC 意味着 BB、CC 位于与 DEDE 平行的一条直线上,因此 BB 到直线 DEDE 的垂直距离等于 CC 到直线 DEDE 的垂直距离。底边相等、高也相等,于是 S△BDES_{\triangle BDE} == S△CDES_{\triangle CDE}。

接下来比较 S△ADES_{\triangle ADE} 与 S△BDES_{\triangle BDE}:以 EE 为顶点来看,三角形 ADEADE 的底边 ADAD 与三角形 BDEBDE 的底边 DBDB 都在直线 ABAB 上,二者共享从 EE 到直线 ABAB 的同一个高。高相等的两个三角形,面积之比等于底边之比,于是 S△ADES_{\triangle ADE}//S△BDES_{\triangle BDE} == ADDB\frac{AD}{DB}。用同样的论证,以 DD 为顶点、底边在直线 ACAC 上,可得 S△ADES_{\triangle ADE}//S△CDES_{\triangle CDE} == AEEC\frac{AE}{EC}。

由第一步 S△BDES_{\triangle BDE} == S△CDES_{\triangle CDE},上面两个比值改写后分母相同,于是 ADDB\frac{AD}{DB} == S△ADES_{\triangle ADE}//S△BDES_{\triangle BDE} == S△ADES_{\triangle ADE}//S△CDES_{\triangle CDE} == AEEC\frac{AE}{EC}。这就证明了 ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}。

对于逆命题,假设 ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} 成立。设 E′E' 是 ACAC 上使得 DE′∥BCDE' \parallel BC 的点;由刚证明的正向结论得 AD/DB=AE′/E′CAD/DB = AE'/E'C。结合假设 AE/EC=AD/DBAE/EC = AD/DB,得到 AE′/E′C=AE/ECAE'/E'C = AE/EC,而在线段 ACAC 上按固定比例分割的点是唯一的,所以 E′=EE' = E。因此 DE=DE′∥BCDE = DE' \parallel BC。

用到此定理的主题

泰勒斯定理与勾股定理

分步证明

该定理暂无分步证明。