$m$ 阶极点处的留数公式

第一步(明确写出洛朗级数)。由于 $f$ 在 $z_0$ 处有 $m$ 阶极点,其洛朗级数形如 $f(z) = \dfrac{a_{-m}}{(z-z_0)^m} + \cdots + \dfrac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots$,其中 $a_{-m} \neq 0$。

第二步(消去极点)。两边乘以 $(z-z_0)^m$:$g(z) := (z-z_0)^m f(z) = a_{-m} + a_{-m+1}(z-z_0) + \cdots + a_{-1}(z-z_0)^{m-1} + a_0(z-z_0)^m + \cdots$,这是一个普通幂级数,因此 $g$ 在 $z_0$ 处全纯。

第三步(把系数识别为导数)。在此幂级数中,$a_{-1}$ 是 $(z-z_0)^{m-1}$ 的系数。对任意全纯函数 $g(z) = \sum_j c_j (z-z_0)^j$,泰勒公式给出 $c_j = \dfrac{g^{(j)}(z_0)}{j!}$,因此 $a_{-1} = \dfrac{g^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!}$。

第四步(结论)。由于 $\mathrm{Res}(f,z_0) = a_{-1}$ 且 $g^{(m-1)}(z_0) = \lim_{z\to z_0} \dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^m f(z)]$,代入即得 $\mathrm{Res}(f, z_0) = \dfrac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z-z_0)^m f(z) \right]$。令 $m=1$ 化简导数与阶乘,即得 $\mathrm{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z-z_0) f(z)$。