留数与留数定理

它把一个困难的几何问题(沿曲线积分)化归为一个简单的代数问题(把有限个数加起来),因为将围道在每个极点附近变形后会收缩成一个很小的圆,在那里洛朗级数完成了全部工作。

第一步(变形围道)。根据柯西积分定理,对任何围住 $f$ 全纯区域的闭曲线都有 $\oint_\gamma f(z)\,dz = 0$。由于 $f$ 仅在 $z_1,\dots,z_n$ 处不全纯,在每个 $z_k$ 周围画一个半径为 $\varepsilon$ 的正向小圆 $C_k$,半径足够小使这些圆彼此不相交且都在 $\gamma$ 内部。从 $\gamma$ 到每个 $C_k$ 切开细缝,把 $\gamma$ 与各 $C_k$ 之间的区域变成一个 $f$ 全纯的单连通区域,因此该区域边界上的积分为 $0$;细缝两侧的贡献成对抵消,剩下 $\oint_\gamma f(z)\,dz = \sum_{k} \oint_{C_k} f(z)\,dz$。

第二步(计算每个小圆)。固定 $k$,在包含 $C_k$ 的去心圆盘上,将 $f$ 在 $z_k$ 附近展开为洛朗级数 $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$。对满足 $n \neq -1$ 的每一项 $a_n(z-z_k)^n$,它在该去心圆盘上都有单值原函数,故沿闭合小圆 $C_k$ 积分为 $0$;只有项 $a_{-1}(z-z_k)^{-1}$ 保留下来。

第三步(计算剩余积分)。将 $C_k$ 参数化为 $z = z_k + \varepsilon e^{i\theta}$($\theta \in [0, 2\pi]$),于是 $dz = i\varepsilon e^{i\theta}\,d\theta$ 且 $\dfrac{dz}{z-z_k} = i\,d\theta$。因此 $\oint_{C_k} \dfrac{a_{-1}}{z-z_k}\,dz = a_{-1} \int_0^{2\pi} i\,d\theta = 2\pi i\, a_{-1} = 2\pi i\, \mathrm{Res}(f, z_k)$。

第四步(求和)。将第三步代入第一步的等式,得到 $\oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \mathrm{Res}(f, z_k)$,这正是留数定理。

乘以 $(z-z_0)^m$ 会消去洛朗级数的奇异部分,使其变成系数恰为导数的普通泰勒级数——于是提取 $a_{-1}$ 就变成了一次普通的微积分计算。

第一步(明确写出洛朗级数)。由于 $f$ 在 $z_0$ 处有 $m$ 阶极点,其洛朗级数形如 $f(z) = \dfrac{a_{-m}}{(z-z_0)^m} + \cdots + \dfrac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots$,其中 $a_{-m} \neq 0$。

第二步(消去极点)。两边乘以 $(z-z_0)^m$:$g(z) := (z-z_0)^m f(z) = a_{-m} + a_{-m+1}(z-z_0) + \cdots + a_{-1}(z-z_0)^{m-1} + a_0(z-z_0)^m + \cdots$,这是一个普通幂级数,因此 $g$ 在 $z_0$ 处全纯。

第三步(把系数识别为导数)。在此幂级数中,$a_{-1}$ 是 $(z-z_0)^{m-1}$ 的系数。对任意全纯函数 $g(z) = \sum_j c_j (z-z_0)^j$,泰勒公式给出 $c_j = \dfrac{g^{(j)}(z_0)}{j!}$,因此 $a_{-1} = \dfrac{g^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!}$。

第四步(结论)。由于 $\mathrm{Res}(f,z_0) = a_{-1}$ 且 $g^{(m-1)}(z_0) = \lim_{z\to z_0} \dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^m f(z)]$,代入即得 $\mathrm{Res}(f, z_0) = \dfrac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z-z_0)^m f(z) \right]$。令 $m=1$ 化简导数与阶乘,即得 $\mathrm{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z-z_0) f(z)$。