留数定理

第一步(变形围道)。根据柯西积分定理,对任何围住 $f$ 全纯区域的闭曲线都有 $\oint_\gamma f(z)\,dz = 0$。由于 $f$ 仅在 $z_1,\dots,z_n$ 处不全纯,在每个 $z_k$ 周围画一个半径为 $\varepsilon$ 的正向小圆 $C_k$,半径足够小使这些圆彼此不相交且都在 $\gamma$ 内部。从 $\gamma$ 到每个 $C_k$ 切开细缝,把 $\gamma$ 与各 $C_k$ 之间的区域变成一个 $f$ 全纯的单连通区域,因此该区域边界上的积分为 $0$;细缝两侧的贡献成对抵消,剩下 $\oint_\gamma f(z)\,dz = \sum_{k} \oint_{C_k} f(z)\,dz$。

第二步(计算每个小圆)。固定 $k$,在包含 $C_k$ 的去心圆盘上,将 $f$ 在 $z_k$ 附近展开为洛朗级数 $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$。对满足 $n \neq -1$ 的每一项 $a_n(z-z_k)^n$,它在该去心圆盘上都有单值原函数,故沿闭合小圆 $C_k$ 积分为 $0$;只有项 $a_{-1}(z-z_k)^{-1}$ 保留下来。

第三步(计算剩余积分)。将 $C_k$ 参数化为 $z = z_k + \varepsilon e^{i\theta}$($\theta \in [0, 2\pi]$),于是 $dz = i\varepsilon e^{i\theta}\,d\theta$ 且 $\dfrac{dz}{z-z_k} = i\,d\theta$。因此 $\oint_{C_k} \dfrac{a_{-1}}{z-z_k}\,dz = a_{-1} \int_0^{2\pi} i\,d\theta = 2\pi i\, a_{-1} = 2\pi i\, \mathrm{Res}(f, z_k)$。

第四步(求和)。将第三步代入第一步的等式,得到 $\oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \mathrm{Res}(f, z_k)$,这正是留数定理。