棱锥体积定理

第一步(三角形情形,分割法)。取一个底面积为 $B$、高为 $h$ 的三棱柱 $ABC.A_1B_1C_1$,由棱柱体积定理知其体积为 $V = Bh$。沿两个对角平面 $(A_1BC)$ 与 $(A_1BC_1)$ 将其切成三个四面体:$A_1.ABC$、$A_1.BCC_1$ 和 $A_1.BB_1C_1$。简单计算表明这三个四面体体积相等:$A_1.BCC_1$ 与 $A_1.BB_1C_1$ 共顶点 $A_1$,底面 $BCC_1$ 与 $BB_1C_1$ 是全等三角形(同一平行四边形 $BCC_1B_1$ 的两半),故这两个四面体体积相等;再比较 $A_1.ABC$ 与 $A_1.BCC_1$(视为以 $B$ 为顶点的棱锥,或沿棱柱用同样的等底论证)可知三部分体积都相等。因此每个四面体的体积为 $\frac{1}{3} \cdot V_{\text{prism}} = \frac{1}{3}Bh$。由于 $A_1.ABC$ 是以 $ABC$(面积 $B$)为底、$A_1$ 在其上方 $h$ 处为顶点的三棱锥,这就证明了三棱锥的 $V = \frac{1}{3}Bh$。

Bước 2 (Cavalieri cho hình dạng đáy bất kì). Bây giờ so sánh một hình chóp tam giác và một hình chóp có đáy bất kì khác, cả hai có cùng diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$, các đỉnh ở cùng độ cao. Tại độ cao $y$ phía trên đáy $(0 \le y \le h)$, một mặt phẳng song song với đáy cắt một hình chóp theo một bản sao của đáy được thu nhỏ theo hệ số $\left(\frac{h-y}{h}\right)$ — đây là một sự kiện đồng dạng chuẩn về phép chiếu xuyên tâm từ đỉnh. Thu nhỏ một hình phẳng theo hệ số tuyến tính $k$ làm diện tích của nó thu nhỏ theo hệ số $k^2$, nên diện tích thiết diện tại độ cao $y$ bằng $B\left(\frac{h-y}{h}\right)^2$ với mọi hình chóp có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$, bất kể hình dạng của đáy.

Vì hai hình chóp được so sánh có diện tích thiết diện giống hệt nhau tại mọi độ cao, nguyên lý Cavalieri cho chúng thể tích bằng nhau. Vì Bước 1 đã thiết lập $V = \frac{1}{3}Bh$ cho hình chóp tam giác, cùng công thức $V = \frac{1}{3}Bh$ đúng cho hình chóp có đáy đa giác bất kì với diện tích $B$ và chiều cao $h$.