旋转体的体积（圆盘法）

把 $[a,b]$ 分成 $n$ 个宽为 $\Delta x=(b-a)/n$ 的小区间，取样本点 $x_i^*$。限制在 $[x_{i-1},x_i]$ 上的立体近似为半径 $f(x_i^*)$、厚度 $\Delta x$ 的圆柱状圆盘，故其体积约为 $\pi[f(x_i^*)]^2\,\Delta x$。

对全部 $n$ 个小区间求和这些圆盘体积，得到黎曼和 $\sum_{i=1}^n \pi[f(x_i^*)]^2\,\Delta x$，它逼近真实体积 $V$。

当 $n\to\infty$ 时，由 $f$ 在 $[a,b]$ 上的连续性，近似误差消失，且 $x\mapsto \pi[f(x)]^2$ 本身连续，故根据定义黎曼和收敛到 $\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx$。因此 $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx$。

作为一致性检验，取 $[0,h]$ 上的 $f(x)=\dfrac{r}{h}x$，将其绕 $x$ 轴旋转恰好得到底面半径为 $r$、高为 $h$ 的圆锥：$V=\pi\int_0^h \left(\dfrac{r}{h}x\right)^2 dx = \pi\dfrac{r^2}{h^2}\cdot\dfrac{h^3}{3} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$，恰好是经典的圆锥体积公式。