共顶点三棱锥的体积比定理

以顶点 $S$ 为原点,设 $\vec{u} = \overrightarrow{SA}$,$\vec{v} = \overrightarrow{SB}$,$\vec{w} = \overrightarrow{SC}$。由公共顶点出发的三条棱向量所张成的四面体体积由标量三重积给出:$V_{S.ABC} = \frac{1}{6}\left|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right|$。

由于 $A' \in SA$, $B' \in SB$, $C' \in SC$,可以写出 $\overrightarrow{SA'} = k_1\vec{u}$,$\overrightarrow{SB'} = k_2\vec{v}$,$\overrightarrow{SC'} = k_3\vec{w}$,其中 $k_1 = \frac{SA'}{SA}$,$k_2 = \frac{SB'}{SB}$,$k_3 = \frac{SC'}{SC}$。于是 $V_{S.A'B'C'} = \frac{1}{6}\left|(k_1\vec{u})\cdot\big((k_2\vec{v})\times(k_3\vec{w})\big)\right|$。

标量三重积是三线性的(对三个向量变元中的每一个都是线性的),因此 $(k_1\vec{u})\cdot\big((k_2\vec{v})\times(k_3\vec{w})\big) = k_1 k_2 k_3 \left(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right)$。两边取绝对值并除以6,得 $V_{S.A'B'C'} = k_1k_2k_3 \cdot V_{S.ABC}$,整理后正是 $\dfrac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SA'}{SA}\cdot\dfrac{SB'}{SB}\cdot\dfrac{SC'}{SC}$。