累次积分的富比尼定理

将 $[a,b]$ 分为 $m$ 个宽为 $\Delta x$ 的子区间 $[x_{i-1}, x_i]$,将 $[c,d]$ 分为 $n$ 个宽为 $\Delta y$ 的子区间 $[y_{j-1}, y_j]$。对每个固定的 $x$,定义截面积分 $A(x) = \int_c^d f(x,y)\,dy$。由积分中值定理,在每个小段 $[y_{j-1}, y_j]$ 上存在 $y_{ij}^* \in [y_{j-1}, y_j]$ 使得 $\int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x_i, y)\,dy = f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta y$。

对 $j = 1, \dots, n$ 求和得 $A(x_i) = \sum_{j=1}^n f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta y$。再乘以 $\Delta x$ 并对 $i = 1, \dots, m$ 求和,得到 $\sum_{i=1}^m A(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta x\,\Delta y$。因为 $f$ 在紧矩形 $R$ 上一致连续,令 $\Delta x, \Delta y \to 0$,左边收敛到 $\int_a^b A(x)\,dx = \int_a^b \left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right) dx$,右边收敛到 $\iint_R f(x,y)\,dA$。交换 $x$ 与 $y$ 的角色重复上述论证,即得与另一积分顺序的相等关系。