重积分

通过累加网格中的小柱体求体积时,无论是先沿 $y$ 方向把每一列加起来得到截面面积 $A(x)$ 再将 $A(x)$ 对 $x$ 积分,还是先垂直于 $y$ 轴切片再积分,所得结果完全一致。

将 $[a,b]$ 分为 $m$ 个宽为 $\Delta x$ 的子区间 $[x_{i-1}, x_i]$,将 $[c,d]$ 分为 $n$ 个宽为 $\Delta y$ 的子区间 $[y_{j-1}, y_j]$。对每个固定的 $x$,定义截面积分 $A(x) = \int_c^d f(x,y)\,dy$。由积分中值定理,在每个小段 $[y_{j-1}, y_j]$ 上存在 $y_{ij}^* \in [y_{j-1}, y_j]$ 使得 $\int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x_i, y)\,dy = f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta y$。

对 $j = 1, \dots, n$ 求和得 $A(x_i) = \sum_{j=1}^n f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta y$。再乘以 $\Delta x$ 并对 $i = 1, \dots, m$ 求和,得到 $\sum_{i=1}^m A(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta x\,\Delta y$。因为 $f$ 在紧矩形 $R$ 上一致连续,令 $\Delta x, \Delta y \to 0$,左边收敛到 $\int_a^b A(x)\,dx = \int_a^b \left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right) dx$,右边收敛到 $\iint_R f(x,y)\,dA$。交换 $x$ 与 $y$ 的角色重复上述论证,即得与另一积分顺序的相等关系。

正如一元换元法中 $dx = g'(u)\,du$ 度量长度的伸缩一样,$|\det D\Phi(u,v)|$ 度量了微小 $(u,v)$ 矩形被映射为 $(x,y)$ 平面上的平行四边形时的局部面积缩放率。

考虑 $U$ 中的小矩形 $R_{ij} = [u_i, u_i + \Delta u] \times [v_j, v_j + \Delta v]$。利用 $(u_i, v_j)$ 处的一阶泰勒展开,两条边 $( \Delta u, 0 )$ 与 $( 0, \Delta v )$ 近似映射为切向量 $\mathbf{a} = \Phi_u(u_i,v_j)\,\Delta u = (x_u, y_u)\,\Delta u$ 和 $\mathbf{b} = \Phi_v(u_i,v_j)\,\Delta v = (x_v, y_v)\,\Delta v$。在 $\mathbb{R}^2$ 中由 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 张成的平行四边形面积等于 $|x_u y_v - x_v y_u|\,\Delta u\,\Delta v = |\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$(相差高阶无穷小 $o(\Delta u\,\Delta v)$)。

将 $\Delta A_{ij} \approx |\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$ 代入黎曼和 $\sum_{i,j} f(\Phi(u_i, v_j))\,\Delta A_{ij}$,即得 $\sum_{i,j} f(\Phi(u_i, v_j))\,|\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$。特别地,对极坐标 $x = r\cos\theta$,$y = r\sin\theta$,有 $\det D\Phi = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r$,从而给出 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$。