多重积分换元定理与雅可比行列式

考虑 $U$ 中的小矩形 $R_{ij} = [u_i, u_i + \Delta u] \times [v_j, v_j + \Delta v]$。利用 $(u_i, v_j)$ 处的一阶泰勒展开,两条边 $( \Delta u, 0 )$ 与 $( 0, \Delta v )$ 近似映射为切向量 $\mathbf{a} = \Phi_u(u_i,v_j)\,\Delta u = (x_u, y_u)\,\Delta u$ 和 $\mathbf{b} = \Phi_v(u_i,v_j)\,\Delta v = (x_v, y_v)\,\Delta v$。在 $\mathbb{R}^2$ 中由 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 张成的平行四边形面积等于 $|x_u y_v - x_v y_u|\,\Delta u\,\Delta v = |\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$(相差高阶无穷小 $o(\Delta u\,\Delta v)$)。

将 $\Delta A_{ij} \approx |\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$ 代入黎曼和 $\sum_{i,j} f(\Phi(u_i, v_j))\,\Delta A_{ij}$,即得 $\sum_{i,j} f(\Phi(u_i, v_j))\,|\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$。特别地,对极坐标 $x = r\cos\theta$,$y = r\sin\theta$,有 $\det D\Phi = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r$,从而给出 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$。