定理已证明

向量积的正交性与面积性质

命题陈述

对任意 $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ 与 $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ ,向量积 $\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\,u_3v_1-u_1v_3,\,u_1v_2-u_2v_1)$ 满足 $(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=0$ 、 $(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}=0$ ,以及 $|\vec{u}\times\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2-(\vec{u}\cdot\vec{v})^2$ 。

为什么成立?

前两个等式确认了 $\vec{u}\times\vec{v}$ 与两个输入向量都垂直,因此它直接给出了由 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 张成平面的法向量。第三个等式可改写为 $|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$ ,即由 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 张成的平行四边形的(底乘高)面积。

证明思路

由坐标定义直接计算数量积:(u x v) . u = (u2 v3 - u3 v2) u1 + (u3 v1 - u1 v3) u2 + (u1 v2 - u2 v1) u3。

展开三项乘积得 u1 u2 v3 - u1 u3 v2 + u2 u3 v1 - u1 u2 v3 + u1 u3 v2 - u2 u3 v1 = 0,六项成对相消。(u x v) . v = 0 的计算完全相同。

对于模长恒等式,展开 |u x v|^2 = (u2 v3 - u3 v2)^2 + (u3 v1 - u1 v3)^2 + (u1 v2 - u2 v1)^2。同时展开 |u|^2 |v|^2 - (u . v)^2 = (u1^2+u2^2+u3^2)(v1^2+v2^2+v3^2) - (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3)^2。

在第二个式子中,对角项 u1^2 v1^2, u2^2 v2^2, u3^2 v3^2 相消,剩下的非对角项 u_i^2 v_j^2 - 2 u_i u_j v_i v_j 与 |u x v|^2 的展开完全一致。由 u . v = |u||v|cos(theta),该式等于 |u|^2|v|^2(1 - cos^2(theta)) = (|u||v|sin(theta))^2。

用到此定理的主题

空间坐标

分步证明

该定理暂无分步证明。