12 年级

空间坐标

把坐标几何推广到三维空间,使用 Oxyz 坐标系。

直观增加第三条轴:从平面到 $Oxyz$ 空间

在房间里,你可以用三个数来确定任意一点——比如吊灯尖端——的位置:沿一面墙走多远( $x$ ),沿相邻的墙走多远( $y$ ),离地面有多高( $z$ )。把三条两两垂直的轴 $Ox, Oy, Oz$ 在墙角 $O$ 处合在一起,就得到坐标系 $Oxyz$ ,把空间中的每一个点 $M(x,y,z)$ 、每一个方向以及每一个平面或曲面都转化为数与方程。

在

Oxyz

坐标系中绘制的曲面

z=f(x,y)

。改变函数选项和竖直缩放比例,观察

x,y,z

之间的方程如何在空间中刻画出形状。

中学用坐标表示向量、平面、直线与球面

定义: 数量积与向量积 ( $\vec{u}\times\vec{v}$ )

对两个空间向量 $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ 与 $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ ,数量积是数 $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$ (当且仅当 $\vec{u}\perp\vec{v}$ 时为 $0$ ),而向量积 $\vec{u}\times\vec{v}$ 是一个同时垂直于 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 的新向量:

\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\,u_3v_1-u_1v_3,\,u_1v_2-u_2v_1)

模长 $|\vec{u}\times\vec{v}|$ 等于由 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 张成的平行四边形面积,且当两向量共线时 $\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}$ 。这使得 $\vec{u}\times\vec{v}$ 成为由平面内两个方向构造该平面法向量的标准工具。

定义: 空间中的平面、直线与球面

具有非零法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$ 的平面 $(P)$ 的一般方程为 $Ax+By+Cz+D=0$ 。过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 、方向向量为 $\vec{u}=(a,b,c)$ 的直线可写为参数方程 $x=x_0+at,\;y=y_0+bt,\;z=z_0+ct$ ( $t\in\mathbb{R}$ )或标准方程 $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ (当 $a,b,c\neq 0$ 时)。以 $I(x_0,y_0,z_0)$ 为球心、 $R>0$ 为半径的球面方程为 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$ 。

Ax+By+Cz+D=0

$Oxyz$ 中的距离直接由勾股定理与正交投影推出:两点 $A,B$ 之间的距离为 $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$ ,点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的垂直距离由下式给出:

d(M_0,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

$Oxyz$ 中对象与方程汇总
对象	决定向量/数据	方程/公式
平面	法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$	$Ax+By+Cz+D=0$
直线	点 $M_0$ ,方向向量 $\vec{u}=(a,b,c)$	$x=x_0+at,\;y=y_0+bt,\;z=z_0+ct$
球面	球心 $I(x_0,y_0,z_0)$ ,半径 $R$	$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$
点到平面的距离	$M_0(x_0,y_0,z_0)$ 与 $\vec{n}=(A,B,C)$	$d(M_0,(P))=\frac{\|Ax_0+By_0+Cz_0+D\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

大学定理:向量积与点到平面的距离

定理: 点到平面的距离公式

在 $Oxyz$ 中,点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $(P): Ax+By+Cz+D=0$ ( $A^2+B^2+C^2>0$ )的垂直距离为 $d(M_0,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ 。

为什么成立?

计算 $Ax_0+By_0+Cz_0+D$ 度量了点 $M_0$ 偏离平面方程的程度,但被法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$ 的模长 $|\vec{n}|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ 放大了。除以 $|\vec{n}|$ 就把这个代数残差还原成沿法线方向的真实几何距离。

证明

在平面 (P) 上任取一点 M1(x1,y1,z1)。因为 M1 在 (P) 上,其坐标满足 Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0,即 D = -(Ax1 + By1 + Cz1)。

设 H 为 M0 在 (P) 上的正交投影。向量 M1M0 = (x0-x1, y0-y1, z0-z1) 分解为沿平面的分量与法向分量 HM0,因此距离 d(M0,(P)) = |HM0| 等于 M1M0 在法向量 n = (A,B,C) 上标量投影的绝对值。

该标量投影的大小为 |n . M1M0| / |n| = |A(x0-x1) + B(y0-y1) + C(z0-z1)| / sqrt(A^2+B^2+C^2)。

将绝对值内的 -(Ax1 + By1 + Cz1) 替换为 D,即得 |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2+B^2+C^2),证毕。

定理: 向量积的正交性与面积性质

对任意 $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ 与 $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ ,向量积 $\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\,u_3v_1-u_1v_3,\,u_1v_2-u_2v_1)$ 满足 $(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=0$ 、 $(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}=0$ ,以及 $|\vec{u}\times\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2-(\vec{u}\cdot\vec{v})^2$ 。

为什么成立?

前两个等式确认了 $\vec{u}\times\vec{v}$ 与两个输入向量都垂直,因此它直接给出了由 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 张成平面的法向量。第三个等式可改写为 $|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$ ,即由 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 张成的平行四边形的(底乘高)面积。

证明

由坐标定义直接计算数量积:(u x v) . u = (u2 v3 - u3 v2) u1 + (u3 v1 - u1 v3) u2 + (u1 v2 - u2 v1) u3。

展开三项乘积得 u1 u2 v3 - u1 u3 v2 + u2 u3 v1 - u1 u2 v3 + u1 u3 v2 - u2 u3 v1 = 0,六项成对相消。(u x v) . v = 0 的计算完全相同。

对于模长恒等式,展开 |u x v|^2 = (u2 v3 - u3 v2)^2 + (u3 v1 - u1 v3)^2 + (u1 v2 - u2 v1)^2。同时展开 |u|^2 |v|^2 - (u . v)^2 = (u1^2+u2^2+u3^2)(v1^2+v2^2+v3^2) - (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3)^2。

在第二个式子中,对角项 u1^2 v1^2, u2^2 v2^2, u3^2 v3^2 相消,剩下的非对角项 u_i^2 v_j^2 - 2 u_i u_j v_i v_j 与 |u x v|^2 的展开完全一致。由 u . v = |u||v|cos(theta),该式等于 |u|^2|v|^2(1 - cos^2(theta)) = (|u||v|sin(theta))^2。

大学实际应用与典型例题

每一个三维图形引擎、CAD软件、机械臂控制器和卫星导航接收机都在 $Oxyz$ 坐标系中工作。屏幕上的三角形网格通过计算每个三角形两条边向量的向量积 $\vec{u}\times\vec{v}$ 得到法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$ ,再与光线方向作数量积来计算光照。碰撞检测与无人机避障归结为计算点到平面的距离 $d(M_0,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ 和球面方程 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$ ;卫星定位(GPS)则是求以已知 $Oxyz$ 坐标的卫星为球心的球面交点。

例题: 用向量积求过三点的平面方程

求过三点 $A(1,0,0)$ 、 $B(0,2,0)$ 和 $C(0,0,2)$ 的平面 $(P)$ 的方程。

解答

构造平面内的两个向量:AB = (-1, 2, 0) 与 AC = (-1, 0, 2)。

它们的向量积给出 (P) 的一个法向量:AB x AC = (22 - 00, 0(-1) - (-1)2, (-1)0 - 2(-1)) = (4, 2, 2)。除以 2 可取更简单的法向量 n = (2, 1, 1)。

由过点 A(1,0,0) 写出 2(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0,整理得平面方程 2x + y + z - 2 = 0。

例题: 无人机到倾斜屋顶平面的安全距离

在局部 $Oxyz$ 坐标系(单位:米)中,一处倾斜屋顶位于平面 $(P): 2x-2y+z-5=0$ 上,一架悬停的无人机位于 $M_0(3,1,4)$ 。求无人机到屋顶的垂直距离,以及以 $M_0$ 为球心且不穿过屋顶的最大球面方程。

解答

对 $(A,B,C)=(2,-2,1)$ 和 $M_0(3,1,4)$ 使用 $d(M_0,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ ,分子为 $|2(3)-2(1)+1(4)-5|=|6-2+4-5|=3$ 。

分母为 $\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{9}=3$ ,因此安全距离为 $d(M_0,(P))=3/3=1$ 米。

以 $M_0$ 为球心且不穿过屋顶的最大球面与 $(P)$ 相切,故其半径为 $R=d(M_0,(P))=1$ 。由 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$ ,其方程为 $(x-3)^2+(y-1)^2+(z-4)^2=1$ 。

在 $Oxyz$ 中, $\vec{u}=(1,2,0)$ 与 $\vec{v}=(0,1,3)$ 的向量积 $\vec{u}\times\vec{v}$ 是什么?

下列哪个向量是平面 $3x-y+4z-7=0$ 的法向量?

球面 $(x-1)^2+(y+2)^2+z^2=9$ 的球心 $I$ 与半径 $R$ 是什么?

三维图形引擎需要法向量来为顶点为 $A,B,C$ 的三角形面着色。对边向量 $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ 与 $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ 进行哪种运算可以得到垂直于该三角形的向量?