定理已证明

点到平面的距离公式

命题陈述

在 $Oxyz$ 中,点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $(P): Ax+By+Cz+D=0$ ( $A^2+B^2+C^2>0$ )的垂直距离为 $d(M_0,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ 。

为什么成立?

计算 $Ax_0+By_0+Cz_0+D$ 度量了点 $M_0$ 偏离平面方程的程度,但被法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$ 的模长 $|\vec{n}|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ 放大了。除以 $|\vec{n}|$ 就把这个代数残差还原成沿法线方向的真实几何距离。

证明思路

在平面 (P) 上任取一点 M1(x1,y1,z1)。因为 M1 在 (P) 上,其坐标满足 Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0,即 D = -(Ax1 + By1 + Cz1)。

设 H 为 M0 在 (P) 上的正交投影。向量 M1M0 = (x0-x1, y0-y1, z0-z1) 分解为沿平面的分量与法向分量 HM0,因此距离 d(M0,(P)) = |HM0| 等于 M1M0 在法向量 n = (A,B,C) 上标量投影的绝对值。

该标量投影的大小为 |n . M1M0| / |n| = |A(x0-x1) + B(y0-y1) + C(z0-z1)| / sqrt(A^2+B^2+C^2)。

将绝对值内的 -(Ax1 + By1 + Cz1) 替换为 D,即得 |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2+B^2+C^2),证毕。

用到此定理的主题

分步证明

该定理暂无分步证明。