点到直线的距离公式

设 $H(x_H,y_H)$ 为 $M_0(x_0,y_0)$ 在 $\Delta$ 上的正投影。因为 $\overrightarrow{HM_0}$ 与法向量 $\vec{n}=(a,b)$ 平行，故存在实数 $t\in\mathbb{R}$ 使得 $\overrightarrow{HM_0}=t\vec{n}=(ta,tb)$，从而 $x_H=x_0-ta$，$y_H=y_0-tb$。

由于 $H$ 在 $\Delta$ 上，其坐标满足 $ax_H+by_H+c=0$。代入 $x_H$ 与 $y_H$ 得 $a(x_0-ta)+b(y_0-tb)+c=0$，即 $ax_0+by_0+c-t(a^2+b^2)=0$。

解出 $t$ 得 $t=\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$。因此所求距离为 $d(M_0,\Delta)=|\overrightarrow{HM_0}|=|t|\,|\vec{n}|=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$。