波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理(二分法证明)

设 $(x_n)$ 有界,即存在 $a<b$ 使得对每个 $n$ 都有 $x_n\in[a,b]$。我们通过反复二分构造一列嵌套区间。把 $[a,b]$ 分成两半 $[a,\tfrac{a+b}{2}]$ 和 $[\tfrac{a+b}{2},b]$。由于数列(按下标计)有无穷多项,而只有两个半区间,根据鸽笼原理,至少有一半必须包含无穷多个下标 $n$ 对应的 $x_n$;把这一半记为 $[a_k,b_k]$,取 $k=1$。

对 $[a_1,b_1]$ 重复同样的二分:将其一分为二,再次由鸽笼原理,至少有一半包含无穷多个 $n$ 对应的 $x_n$;记为 $[a_2,b_2]$。如此永远进行下去,得到嵌套链 $[a,b]\supset[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset\cdots$,每个区间都包含无穷多个下标对应的 $x_n$,且每个区间宽度是前一个的一半,因此 $[a_k,b_k]$ 的宽度恰为 $(b-a)/2^{k}$,当 $k\to\infty$ 时趋于 $0$。

现在构造子列:由于 $[a_1,b_1]$ 包含数列中无穷多项,任取一个下标 $n_1$ 使 $x_{n_1}\in[a_1,b_1]$。由于 $[a_2,b_2]$ 也包含无穷多项(除有限个下标外都仍可用),取 $n_2>n_1$ 使 $x_{n_2}\in[a_2,b_2]$。如此归纳下去,在第 $k$ 步选取 $n_k>n_{k-1}$ 使 $x_{n_k}\in[a_k,b_k]$;这总是可行的,因为 $[a_k,b_k]$ 包含无穷多项,所以超过 $n_{k-1}$ 的下标仍有无穷多个可选。

根据实数的闭区间套性质(每个 $[a_k,b_k]$ 都是闭的、嵌套的,且宽度收缩到 $0$),它们的交是单独一点:对某个 $L\in[a,b]$ 有 $\bigcap_{k=1}^{\infty} [a_k,b_k] = \{L\}$。由于 $x_{n_k}$ 与 $L$ 都属于宽度为 $(b-a)/2^{k}$ 的 $[a_k,b_k]$,故 $|x_{n_k}-L|\le (b-a)/2^{k}\to 0$。当 $k\to\infty$ 时右边趋于 $0$,从而迫使 $x_{n_k}\to L$。因此 $(x_{n_k})$ 是 $(x_n)$ 的一个收敛子列,证毕。