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19至21世纪的数学 以 ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε \forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε d s 2 = g i j d x i d x j ds^2=g_{ij}\,dx^i dx^j d s 2 = g ij d x i d x j ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s
直观 从严格性到研究前沿的旅程 到1800年,微积分已经辉煌了两个世纪,但地基却并不稳固:没有人能精确说清“无穷小量”到底是什么。19世纪用严密的逻辑填补了这一空白;20和21世纪则打开了牛顿与莱布尼茨从未想象过的大门——抽象结构、超过三维的空间,以及由机器验证的证明。本主题正是沿着这条轨迹展开:从极限的 ε \varepsilon ε δ \delta δ
复变函数的定义域着色图:19世纪的分析学家(柯西、黎曼)研究复平面上的函数,其中零点与极点揭示了深刻的结构——至今未被证明的黎曼假设,正是关于ζ函数零点确切位置的论断。 中学 分析学的严格化:极限的 ε \varepsilon ε δ \delta δ 定义: 柯西–魏尔斯特拉斯极限
我们说 lim x → a f ( x ) = L \lim_{x\to a}f(x)=L lim x → a f ( x ) = L ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε \forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε ε \varepsilon ε a a a δ \delta δ
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε \forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε 每个符号都承载着含义:∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 \exists\delta>0 ∃ δ > 0 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε a a a δ \delta δ a a a f ( x ) f(x) f ( x ) L L L ε \varepsilon ε
大学 伽罗瓦理论:用群结构看根式可解性 定义: 伽罗瓦可解性判据
埃瓦里斯特·伽罗瓦为每个多项式方程都对应了一个群——它的伽罗瓦群,即保持各根之间一切有理关系的对称群——并证明了:该方程可用根式求解(用 + , − , × , ÷ +,-,\times,\div + , − , × , ÷ n n n 可解群 ,也就是说存在子群链 1 = G 0 ◃ G 1 ◃ ⋯ ◃ G k = G 1=G_0\triangleleft G_1\triangleleft\cdots\triangleleft G_k=G 1 = G 0 ◃ G 1 ◃ ⋯ ◃ G k = G G i + 1 / G i G_{i+1}/G_i G i + 1 / G i Q \mathbb{Q} Q x 3 − 2 x^3-2 x 3 − 2 S 3 S_3 S 3 1 ◃ A 3 ◃ S 3 1\triangleleft A_3\triangleleft S_3 1 ◃ A 3 ◃ S 3 A 3 / 1 ≅ Z / 3 Z A_3/1\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} A 3 /1 ≅ Z /3 Z S 3 / A 3 ≅ Z / 2 Z S_3/A_3\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} S 3 / A 3 ≅ Z /2 Z
1 ◃ A 3 ◃ S 3 1\triangleleft A_3\triangleleft S_3 1 ◃ A 3 ◃ S 3 相比之下,像 x 5 − x − 1 x^5-x-1 x 5 − x − 1 S 5 S_5 S 5 S 5 S_5 S 5 不 可解——它唯一的正规子群是 1 1 1 A 5 A_5 A 5 S 5 S_5 S 5 A 5 A_5 A 5 x 5 − 1 x^5-1 x 5 − 1
19世纪也把几何学从欧几里得式的平坦性中解放出来。伯恩哈德·黎曼提出,在任意光滑空间上,可以通过度量 d s 2 = g i j d x i d x j ds^2=g_{ij}\,dx^i dx^j d s 2 = g ij d x i d x j g i j g_{ij} g ij ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s s s s 1 / 2 1/2 1/2
d s 2 = g i j d x i d x j ds^2=g_{ij}\,dx^i dx^j d s 2 = g ij d x i d x j ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} ζ ( s ) = n = 1 ∑ ∞ n − s 与此同时,格奥尔格·康托尔建立了严格的无穷集合理论,并证明了(见下文定理1)某些无穷确实比另一些无穷更大——实数集 R \mathbb{R} R
一览三个世纪的数学 世纪 代表数学家 标志性成果 关键年代 19 柯西、黎曼、伽罗瓦、康托尔 严格的极限 ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε \forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε d s 2 = g i j d x i d x j ds^2=g_{ij}\,dx^i dx^j d s 2 = g ij d x i d x j ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s 1821–1874年 20 希尔伯特、哥德尔、格罗滕迪克、庞加莱 希尔伯特23个问题;哥德尔不完备定理;格罗滕迪克概形 S p e c ( R ) \mathrm{Spec}(R) Spec ( R ) 1900–1970年代 21 佩雷尔曼、梅纳德、维亚佐夫斯卡 庞加莱猜想的证明;素数间的有界间隙;8维与24维的最优球堆积;AI辅助的形式化证明验证 2002–2024年
区间 [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] R \mathbb{R} R x 1 , x 2 , x 3 , … x_1, x_2, x_3, \ldots x 1 , x 2 , x 3 , …
为什么成立? 这是第一个证明无穷集合也有不同“大小”的定理:自然数集与实数集都是无穷的,但其中一个无穷严格大于另一个。它解释了为何绝大多数实数无法用任何有限公式描述,也是逻辑学与计算机科学中(例如停机问题)广泛使用的对角线论证方法的鼻祖。
证明 用反证法。假设 [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] x 1 , x 2 , x 3 , … x_1, x_2, x_3, \ldots x 1 , x 2 , x 3 , … x n = 0. d n 1 d n 2 d n 3 … x_n = 0.d_{n1}d_{n2}d_{n3}\ldots x n = 0. d n 1 d n 2 d n 3 …
现在沿着这份列表的对角线,逐位构造一个新数 y y y y = 0. e 1 e 2 e 3 … y = 0.e_1e_2e_3\ldots y = 0. e 1 e 2 e 3 … n n n e n = { 5 d n n ≠ 5 6 d n n = 5 e_n=\begin{cases}5 & d_{nn}\neq5\\6 & d_{nn}=5\end{cases} e n = { 5 6 d nn = 5 d nn = 5 { 5 , 6 } \{5,6\} { 5 , 6 } y y y
对每个下标 n n n y y y n n n x n x_n x n e n ≠ d n n e_n\neq d_{nn} e n = d nn y ≠ x n ∀ n y\neq x_n\ \forall n y = x n ∀ n y y y 5 5 5 6 6 6 y ∈ [ 0 , 1 ] y\in[0,1] y ∈ [ 0 , 1 ]
但这样一来,y y y [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] x n x_n x n [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] R \mathbb{R} R
每个有界实数列 ( x n ) (x_n) ( x n ) ( x n k ) (x_{n_k}) ( x n k )
为什么成立? 这是使实分析得以运作的关键紧性事实:它保证一个有界的过程不可能永远游荡而不在某处聚集,并且是极值定理、最优化中极小点存在性以及分析学中各种完备性论证的基础。
证明 设 ( x n ) (x_n) ( x n ) a < b a<b a < b n n n x n ∈ [ a , b ] x_n\in[a,b] x n ∈ [ a , b ] [ a , b ] [a,b] [ a , b ] [ a , a + b 2 ] [a,\tfrac{a+b}{2}] [ a , 2 a + b ] [ a + b 2 , b ] [\tfrac{a+b}{2},b] [ 2 a + b , b ] n n n x n x_n x n [ a k , b k ] [a_k,b_k] [ a k , b k ] k = 1 k=1 k = 1
对 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [ a 1 , b 1 ] n n n x n x_n x n [ a 2 , b 2 ] [a_2,b_2] [ a 2 , b 2 ] [ a , b ] ⊃ [ a 1 , b 1 ] ⊃ [ a 2 , b 2 ] ⊃ ⋯ [a,b]\supset[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset\cdots [ a , b ] ⊃ [ a 1 , b 1 ] ⊃ [ a 2 , b 2 ] ⊃ ⋯ x n x_n x n [ a k , b k ] [a_k,b_k] [ a k , b k ] ( b − a ) / 2 k (b-a)/2^{k} ( b − a ) / 2 k k → ∞ k\to\infty k → ∞ 0 0 0
现在构造子列:由于 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [ a 1 , b 1 ] n 1 n_1 n 1 x n 1 ∈ [ a 1 , b 1 ] x_{n_1}\in[a_1,b_1] x n 1 ∈ [ a 1 , b 1 ] [ a 2 , b 2 ] [a_2,b_2] [ a 2 , b 2 ] n 2 > n 1 n_2>n_1 n 2 > n 1 x n 2 ∈ [ a 2 , b 2 ] x_{n_2}\in[a_2,b_2] x n 2 ∈ [ a 2 , b 2 ] k k k n k > n k − 1 n_k>n_{k-1} n k > n k − 1 x n k ∈ [ a k , b k ] x_{n_k}\in[a_k,b_k] x n k ∈ [ a k , b k ] [ a k , b k ] [a_k,b_k] [ a k , b k ] n k − 1 n_{k-1} n k − 1
根据实数的闭区间套性质(每个 [ a k , b k ] [a_k,b_k] [ a k , b k ] 0 0 0 L ∈ [ a , b ] L\in[a,b] L ∈ [ a , b ] ⋂ k = 1 ∞ [ a k , b k ] = { L } \bigcap_{k=1}^{\infty} [a_k,b_k] = \{L\} ⋂ k = 1 ∞ [ a k , b k ] = { L } x n k x_{n_k} x n k L L L ( b − a ) / 2 k (b-a)/2^{k} ( b − a ) / 2 k [ a k , b k ] [a_k,b_k] [ a k , b k ] ∣ x n k − L ∣ ≤ ( b − a ) / 2 k → 0 |x_{n_k}-L|\le (b-a)/2^{k}\to 0 ∣ x n k − L ∣ ≤ ( b − a ) / 2 k → 0 k → ∞ k\to\infty k → ∞ 0 0 0 x n k → L x_{n_k}\to L x n k → L ( x n k ) (x_{n_k}) ( x n k ) ( x n ) (x_n) ( x n )
进阶 20世纪:概形与朗兰兹纲领 古典代数几何学研究复数或实数域上多项式方程解集的性质。20世纪60年代,亚历山大·格罗滕迪克从根基上重建了这门学科:对任意交换环 R R R S p e c ( R ) \mathrm{Spec}(R) Spec ( R ) R R R p p p 概形 。这使得同一套几何直觉与工具(维数、光滑性、上同调)可以同时统一地应用于数论与几何,这对怀尔斯证明费马大定理以及德利涅证明韦伊猜想都至关重要。与此同时,由罗伯特·朗兰兹自1967年起提出的朗兰兹纲领,猜想伽罗瓦表示(多项式方程解的对称性,是伽罗瓦群的推广)与自守形式(调和分析中高度对称的函数)之间存在深刻的对应关系——这部统一的“词典”已经催生了众多重大定理,至今仍在推动现代数论的大部分研究。
研究 21世纪:当今的研究前沿 大学 实际应用与典型例题 这些抽象概念绝非纸上谈兵。有限域上的伽罗瓦理论是现代密码学的代数支柱:AES 利用有限域 G F ( 2 8 ) \mathrm{GF}(2^8) GF ( 2 8 ) d s 2 = g i j d x i d x j ds^2=g_{ij}\,dx^i dx^j d s 2 = g ij d x i d x j g i j g_{ij} g ij
例题: 用 ε \varepsilon ε δ \delta δ
请用 ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε \forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε lim x → 2 ( 3 x − 1 ) = 5 \lim_{x\to2}(3x-1)=5 lim x → 2 ( 3 x − 1 ) = 5
解答 设给定任意 ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 δ > 0 \delta>0 δ > 0 0 < ∣ x − 2 ∣ < δ 0<|x-2|<\delta 0 < ∣ x − 2∣ < δ ∣ ( 3 x − 1 ) − 5 ∣ < ε |(3x-1)-5|<\varepsilon ∣ ( 3 x − 1 ) − 5∣ < ε ∣ ( 3 x − 1 ) − 5 ∣ = 3 ∣ x − 2 ∣ < 3 δ = ε |(3x-1)-5|=3|x-2|<3\delta=\varepsilon ∣ ( 3 x − 1 ) − 5∣ = 3∣ x − 2∣ < 3 δ = ε ∣ ( 3 x − 1 ) − 5 ∣ = ∣ 3 x − 6 ∣ = 3 ∣ x − 2 ∣ |(3x-1)-5|=|3x-6|=3|x-2| ∣ ( 3 x − 1 ) − 5∣ = ∣3 x − 6∣ = 3∣ x − 2∣
因此我们需要 3 ∣ x − 2 ∣ < ε 3|x-2|<\varepsilon 3∣ x − 2∣ < ε ∣ x − 2 ∣ < ε / 3 |x-2|<\varepsilon/3 ∣ x − 2∣ < ε /3 δ \delta δ δ = ε / 3 \delta=\varepsilon/3 δ = ε /3
现在验证它确实成立。设 0 < ∣ x − 2 ∣ < δ = ε / 3 0<|x-2|<\delta=\varepsilon/3 0 < ∣ x − 2∣ < δ = ε /3 ∣ x − 2 ∣ < ε / 3 |x-2|<\varepsilon/3 ∣ x − 2∣ < ε /3 3 3 3 3 ∣ x − 2 ∣ < ε 3|x-2|<\varepsilon 3∣ x − 2∣ < ε ∣ ( 3 x − 1 ) − 5 ∣ < ε |(3x-1)-5|<\varepsilon ∣ ( 3 x − 1 ) − 5∣ < ε ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 δ \delta δ ε \varepsilon ε δ \delta δ lim x → 2 ( 3 x − 1 ) = 5 \lim_{x\to2}(3x-1)=5 lim x → 2 ( 3 x − 1 ) = 5
例题: x 3 − 2 x^3-2 x 3 − 2 S 3 S_3 S 3 S 3 S_3 S 3
求 Q \mathbb{Q} Q x 3 − 2 x^3-2 x 3 − 2
解答 x 3 − 2 x^3-2 x 3 − 2 C \mathbb{C} C 2 3 \sqrt[3]{2} 3 2 ω 2 3 \omega\sqrt[3]{2} ω 3 2 ω 2 2 3 \omega^2\sqrt[3]{2} ω 2 3 2 ω = e 2 π i / 3 \omega=e^{2\pi i/3} ω = e 2 π i /3 Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega) Q ( 3 2 , ω )
分两步构造该域。首先添加实根:[ Q ( 2 3 ) : Q ] = 3 [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3 [ Q ( 3 2 ) : Q ] = 3 x 3 − 2 x^3-2 x 3 − 2 Q \mathbb{Q} Q p = 2 p=2 p = 2 2 3 \sqrt[3]{2} 3 2 Q ( 2 3 ) ⊂ R \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset\mathbb{R} Q ( 3 2 ) ⊂ R ω 2 3 \omega\sqrt[3]{2} ω 3 2 ω \omega ω ω \omega ω x 2 + x + 1 = 0 x^2+x+1=0 x 2 + x + 1 = 0 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) Q ( 3 2 ) ω \omega ω [ Q ( 2 3 , ω ) : Q ] = 6 [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q}]=6 [ Q ( 3 2 , ω ) : Q ] = 6
伽罗瓦群的阶等于该次数,故 ∣ G a l ∣ = 6 |\mathrm{Gal}|=6 ∣ Gal ∣ = 6 全部 置换而作用的6阶群就是 S 3 S_3 S 3 3 ! = 6 3!=6 3 ! = 6 σ \sigma σ ω \omega ω 2 3 ↦ ω 2 3 ↦ ω 2 2 3 ↦ 2 3 \sqrt[3]{2}\mapsto\omega\sqrt[3]{2}\mapsto\omega^2\sqrt[3]{2}\mapsto\sqrt[3]{2} 3 2 ↦ ω 3 2 ↦ ω 2 3 2 ↦ 3 2 τ \tau τ 2 3 \sqrt[3]{2} 3 2 ω ↦ ω 2 \omega\mapsto\omega^2 ω ↦ ω 2 σ \sigma σ τ \tau τ G a l ( Q ( 2 3 , ω ) / Q ) ≅ S 3 \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)/\mathbb{Q})\cong S_3 Gal ( Q ( 3 2 , ω ) / Q ) ≅ S 3
最后看可解性:S 3 S_3 S 3 1 ◃ A 3 ◃ S 3 1\triangleleft A_3\triangleleft S_3 1 ◃ A 3 ◃ S 3 A 3 = { 1 , σ , σ 2 } ≅ Z / 3 Z A_3=\{1,\sigma,\sigma^2\}\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} A 3 = { 1 , σ , σ 2 } ≅ Z /3 Z A 3 / 1 ≅ Z / 3 Z A_3/1\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} A 3 /1 ≅ Z /3 Z S 3 / A 3 ≅ Z / 2 Z S_3/A_3\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} S 3 / A 3 ≅ Z /2 Z S 3 S_3 S 3 x 3 − 2 x^3-2 x 3 − 2
常见错误. 一个常见的混淆:学生记住“阿贝尔–鲁菲尼定理说五次方程不能用根式求解”,然后错误地推广为“次数 ≥ 5 \ge 5 ≥ 5 群 ,而不是次数 。有些五次方程完全可解:x 5 − 1 x^5-1 x 5 − 1 Z / 5 Z \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} Z /5 Z 公式 ,因为像 x 5 − x − 1 x^5-x-1 x 5 − x − 1 一般 的五次方程,其伽罗瓦群是 S 5 S_5 S 5 Q \mathbb{Q} Q R \mathbb{R} R N \mathbb{N} N R \mathbb{R} R 历史注记
1900年8月,在巴黎举行的第二届国际数学家大会上,大卫·希尔伯特发表演讲,列出了他认为对即将到来的世纪至关重要的23个公开问题——从连续统假设(第1题,问是否存在一个基数严格介于 N \mathbb{N} N R \mathbb{R} R
大卫·希尔伯特 格奥尔格·康托尔
研究前沿 截至 2026 年
迄今为止,三项标志性成果奠定了21世纪的基调。2002至2003年,格里戈里·佩雷尔曼利用理查德·汉密尔顿的里奇流方案,发布预印本证明了庞加莱猜想(每个单连通的闭三维流形在拓扑上都是球面),这是拓扑学与几何学迄今最深刻的成果之一(他拒绝接受菲尔兹奖与克雷千禧年奖的奖金)。2013至2014年,詹姆斯·梅纳德与张益唐各自独立在素数间的有界间隙问题上取得重大突破,证明了存在无穷多对素数,其间距不超过某个固定上界,梅纳德随后的改进又推动了关于等差数列中素数以及相邻素数间隙的结果。2016年,玛丽娜·维亚佐夫斯卡利用模形式解决了8维空间中的球堆积问题,随后不久又与合作者一同解决了24维情形——这是自开普勒猜想解决三维情形以来,首次在高于3维的情形下给出最优球堆积的证明。第四个转变更多是方法论上的、正在进行中的转变,而非单一定理:大规模形式化项目(在Lean证明助手中形式化彼得·舒尔策深刻成果的Liquid Tensor Experiment、不断扩充的Mathlib与Isabelle/HOL库)以及人工智能系统——DeepMind的AlphaProof与AlphaGeometry在2024年国际数学奥林匹克竞赛中取得了相当于银牌的成绩——正开始让机器验证的证明成为数学研究的实用工具,而不再只是希尔伯特在1900年只能勾勒轮廓的愿景。
利用 ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε \forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε ε \varepsilon ε δ \delta δ lim x → 2 ( 3 x − 1 ) = 5 \lim_{x\to2}(3x-1)=5 lim x → 2 ( 3 x − 1 ) = 5
δ = ε / 3 \delta=\varepsilon/3 δ = ε /3 δ = 3 ε \delta=3\varepsilon δ = 3 ε δ = ε 2 \delta=\varepsilon^2 δ = ε 2 δ = ε − 3 \delta=\varepsilon-3 δ = ε − 3 Q \mathbb{Q} Q x 3 − 2 x^3-2 x 3 − 2
S 3 S_3 S 3 Z / 3 Z \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} Z /3 Z S 5 S_5 S 5 A 5 A_5 A 5 现代椭圆曲线密码学(ECC,保护大部分网络流量TLS的安全)所依赖的19世纪代数结构是什么?
有限域上的伽罗瓦理论 傅里叶级数 黎曼ζ函数 康托尔的集合论
19世纪提出的黎曼内在几何学,为20世纪的哪个物理理论提供了数学语言?
广义相对论 量子力学 热力学 牛顿力学