康托尔定理:实数不可数

用反证法。假设 $[0,1]$ 是可数的:其中每个实数都恰好出现在某个枚举 $x_1, x_2, x_3, \ldots$ 中一次。把每个数写成小数形式 $x_n = 0.d_{n1}d_{n2}d_{n3}\ldots$,当一个数有两种表示时,选择不以无穷多个9结尾的那种展开。

现在沿着这份列表的对角线,逐位构造一个新数 $y$:$y = 0.e_1e_2e_3\ldots$,其中第 $n$ 位由 $e_n=\begin{cases}5 & d_{nn}\neq5\\6 & d_{nn}=5\end{cases}$ 确定。把取值限制在 $\{5,6\}$ 之中,保证了 $y$ 不会以全0或全9结尾,因此它的小数展开是唯一且无歧义的。

对每个下标 $n$,按照构造方式,$y$ 在第 $n$ 位小数上都与 $x_n$ 不同($e_n\neq d_{nn}$),因此 $y\neq x_n\ \forall n$。由于 $y$ 的每一位都是 $5$ 或 $6$,所以 $y\in[0,1]$。

但这样一来,$y$ 就是 $[0,1]$ 中的一个实数,却不等于那份"完整"列表中的任何 $x_n$——这与假设该列表包含 $[0,1]$ 的每一个元素相矛盾。因此 $[0,1]$ 不存在这样的枚举,$[0,1]$(从而更大的集合 $\mathbb{R}$)是不可数的。