非平凡解的存在性

由狄利克雷逼近定理,对任意整数 $Q>0$,存在整数 $p,q$,$1\le q\le Q$,且 $\left|\sqrt d - \frac{p}{q}\right|<\frac{1}{qQ}$。令 $Q\to\infty$ 得到无穷多对 $(p,q)$ 满足 $\left|\sqrt d-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2}$。

对每一对这样的数,$|p-q\sqrt d|<\frac{1}{q}$,故 $|p^2-dq^2|=|p-q\sqrt d|\cdot|p+q\sqrt d|<\frac{1}{q}\left(2q\sqrt d+\frac{1}{q}\right)<2\sqrt d+1$。因此 $p^2-dq^2$ 只能取区间 $(-2\sqrt d-1,\,2\sqrt d+1)$ 内有限多个整数值,而 $(p,q)$ 却有无穷多对。

由鸽笼原理,该有限范围内某个固定的非零整数 $k$ 使得 $p^2-dq^2=k$ 对无穷多对 $(p,q)$ 成立。在这无穷多对中,再由鸽笼原理,有无穷多对满足相同的剩余类 $p\equiv p_0,\ q\equiv q_0\pmod{|k|}$。

取两对这样不同的 $(p_1,q_1)\neq(p_2,q_2)$,满足 $p_1^2-dq_1^2=p_2^2-dq_2^2=k$ 且模 $|k|$ 剩余相同。设 $x+y\sqrt d = \frac{(p_1+q_1\sqrt d)(p_2-q_2\sqrt d)}{k}$;展开可知 $x=\frac{p_1p_2-dq_1q_2}{k}$ 与 $y=\frac{p_1q_2-p_2q_1}{k}$ 正因模 $|k|$ 剩余相同而确为整数,而范数 $N(a+b\sqrt d)=a^2-db^2$ 的积性给出 $x^2-dy^2=\frac{k\cdot k}{k^2}=1$。由于 $(p_1,q_1)\neq(p_2,q_2)$ 但极限下比值相同,可验证 $y\neq 0$,将 $(x,y)$ 换成 $(|x|,|y|)$(仍是解,因为只出现平方)即得正整数解。