佩尔方程

双曲线 $x^2-dy^2=1$ 显然有实数点,但它必经过某个格点这一点绝非显然——该定理通过对有理逼近的巧妙鸽笼论证,保证对每个非完全平方数 $d$ 都必然如此。

由狄利克雷逼近定理,对任意整数 $Q>0$,存在整数 $p,q$,$1\le q\le Q$,且 $\left|\sqrt d - \frac{p}{q}\right|<\frac{1}{qQ}$。令 $Q\to\infty$ 得到无穷多对 $(p,q)$ 满足 $\left|\sqrt d-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2}$。

对每一对这样的数,$|p-q\sqrt d|<\frac{1}{q}$,故 $|p^2-dq^2|=|p-q\sqrt d|\cdot|p+q\sqrt d|<\frac{1}{q}\left(2q\sqrt d+\frac{1}{q}\right)<2\sqrt d+1$。因此 $p^2-dq^2$ 只能取区间 $(-2\sqrt d-1,\,2\sqrt d+1)$ 内有限多个整数值,而 $(p,q)$ 却有无穷多对。

由鸽笼原理,该有限范围内某个固定的非零整数 $k$ 使得 $p^2-dq^2=k$ 对无穷多对 $(p,q)$ 成立。在这无穷多对中,再由鸽笼原理,有无穷多对满足相同的剩余类 $p\equiv p_0,\ q\equiv q_0\pmod{|k|}$。

取两对这样不同的 $(p_1,q_1)\neq(p_2,q_2)$,满足 $p_1^2-dq_1^2=p_2^2-dq_2^2=k$ 且模 $|k|$ 剩余相同。设 $x+y\sqrt d = \frac{(p_1+q_1\sqrt d)(p_2-q_2\sqrt d)}{k}$;展开可知 $x=\frac{p_1p_2-dq_1q_2}{k}$ 与 $y=\frac{p_1q_2-p_2q_1}{k}$ 正因模 $|k|$ 剩余相同而确为整数,而范数 $N(a+b\sqrt d)=a^2-db^2$ 的积性给出 $x^2-dy^2=\frac{k\cdot k}{k^2}=1$。由于 $(p_1,q_1)\neq(p_2,q_2)$ 但极限下比值相同,可验证 $y\neq 0$,将 $(x,y)$ 换成 $(|x|,|y|)$(仍是解,因为只出现平方)即得正整数解。

它说明无穷多解并非神秘散乱的集合,而是通过反复“乘以”最小解生成的完全可预测的类几何序列——把无限的搜索归结为只需找到一个数。

首先验证由 $x_n+y_n\sqrt d=(x_1+y_1\sqrt d)^n$ 定义的 $(x_n,y_n)$ 对每个 $n$ 确实是解:取共轭,$x_n-y_n\sqrt d=(x_1-y_1\sqrt d)^n$,故 $x_n^2-dy_n^2=(x_n+y_n\sqrt d)(x_n-y_n\sqrt d)=\left[(x_1+y_1\sqrt d)(x_1-y_1\sqrt d)\right]^n=(x_1^2-dy_1^2)^n=1^n=1$。

现设 $(x,y)$ 是任意不具有此形式的正整数解;由于当 $n\to\infty$ 时 $x_n\to\infty$,存在唯一的 $n$ 使 $x_n+y_n\sqrt d \le x+y\sqrt d < x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt d = (x_n+y_n\sqrt d)(x_1+y_1\sqrt d)$。

两边除以 $(x_n+y_n\sqrt d)$,即乘以其逆 $(x_n-y_n\sqrt d)$(由 $x_n^2-dy_n^2=1$ 保证有效):设 $x'+y'\sqrt d = (x+y\sqrt d)(x_n-y_n\sqrt d)$。则 $1\le x'+y'\sqrt d < x_1+y_1\sqrt d$,且 $x'^2-dy'^2=(x^2-dy^2)(x_n^2-dy_n^2)=1\cdot 1=1$,故 $(x',y')$ 也是佩尔方程的解。

利用 $x'+y'\sqrt d\ge 1$ 与 $x'^2-dy'^2=1$ 做简短计算可得 $x'\ge 1$ 且 $y'\ge 0$(若某解满足 $x'+y'\sqrt d\ge 1$ 但 $y'<0$,则会迫使 $x'>x_1$,与 $x'+y'\sqrt d<x_1+y_1\sqrt d$ 连同范数方程矛盾)。若 $y'>0$,则 $(x',y')$ 是满足 $x'+y'\sqrt d<x_1+y_1\sqrt d$ 的正解,与基本解的最小性矛盾。故 $y'=0$,从而 $x'=1$,即 $x+y\sqrt d=x_n+y_n\sqrt d$,故 $(x,y)=(x_n,y_n)$——与假设矛盾。

因此每个正解恰好是某个 $(x_n,y_n)$,证明了基本解生成了整个解集。