等比数列的求和(有限与无限)

从定义 $S_n = u_1+u_1q+u_1q^2+\cdots+u_1q^{n-1}$ 出发。两边乘以 $q$:$qS_n = u_1q+u_1q^2+\cdots+u_1q^{n-1}+u_1q^n$。$qS_n$ 中除最后一项 $u_1q^n$ 之外的每一项,都已经出现在 $S_n$ 中,只是错位了一项。

作差:$S_n-qS_n$ 会消去所有公共项 $u_1q,u_1q^2,\dots,u_1q^{n-1}$,只留下 $S_n$ 的第一项(即 $u_1$)减去 $qS_n$ 的最后一项(即 $u_1q^n$)。这恰好给出 $(1-q)S_n = u_1 - u_1 q^n$,即 $(1-q)S_n=u_1-u_1q^n$。

若 $q\neq 1$,两边同除以 $1-q$(因为 $1-q\neq 0$,这是合法的),得到 $S_n = u_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}\quad (q\neq 1)$。若 $q=1$,伸缩恒等式变为 $0\cdot S_n=0$,不提供任何信息,因此这种情形必须直接从定义处理:每一项都等于 $u_1$,所以 $S_n=nu_1$。

最后,取 $|q|<1$,在公式 $S_n=u_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ 中令 $n\to\infty$:因为 $|q|<1$ 意味着当 $n$ 增大时 $q^n\to 0$,分子 $1-q^n\to 1$,所以 $S_n\to \dfrac{u_1}{1-q}$。这个极限正是 $S = \dfrac{u_1}{1-q}\quad (|q|<1)$,即无限等比级数之和;反之若 $|q|\geq 1$,则 $q^n$ 不会缩小到 $0$(它会增大或保持大小不变),因此这种情形下无限和不存在有限值。