四边形与n边形内角和定理

第一步（沿一条对角线分割四边形）。在凸四边形 $ABCD$ 中连接对角线 $AC$。由于图形是凸的，该线段完全位于四边形内部，并将其划分为两个三角形 $\triangle ABC$ 与 $\triangle ACD$。

第二步（对每一部分应用三角形内角和）。在 $\triangle ABC$ 中有 $\angle BAC + \angle B + \angle BCA = 180^\circ$，而在 $\triangle ACD$ 中有 $\angle CAD + \angle D + \angle DCA = 180^\circ$。

第三步（将两式相加并推广）。将上述两式相加得 $(\angle BAC + \angle CAD) + \angle B + (\angle BCA + \angle DCA) + \angle D = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$。由于对角线两端相邻的角重新合并为完整的顶角 $\angle BAC + \angle CAD = \angle A$ 与 $\angle BCA + \angle DCA = \angle C$，上式直接化简为 $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$。对于具有 $n$ 个顶点的凸多边形，从一个顶点引出全部 $n - 3$ 条对角线可将内部切分为 $n - 2$ 个三角形，它们的内角总和即为 $(n - 2) \cdot 180^\circ$。