平行四边形的对角线判定定理

第一步（平行四边形推出对角线互相平分）。设 $ABCD$ 是平行四边形。因为对边平行且相等，故有 $AB = CD$，且两条对角线所截得的内错角满足 $\angle OAB = \angle OCD$ 与 $\angle OBA = \angle ODC$。由角边角（ASA）全等判定得 $\triangle AOB \cong \triangle COD$，故对应边相等给出 $OA = OC$ 与 $OB = OD$。

第二步（对角线互相平分推出相对的三角形全等）。反过来，设 $OA = OC$ 且 $OB = OD$。因为交点处的对顶角相等（$\angle AOB = \angle COD$），由边角边（SAS）全等判定可得 $\triangle AOB \cong \triangle COD$，从而得出 $\angle OAB = \angle OCD$。对另一组对顶角（$\angle AOD = \angle COB$）应用完全相同的边角边论证，可得 $\triangle AOD \cong \triangle COB$，从而得出 $\angle OAD = \angle OCB$。

第三步（内错角相等迫使对边平行）。等式 $\angle OAB = \angle OCD$ 与 $\angle OAD = \angle OCB$ 表明对角线截两组对边所得的内错角分别相等，这迫使 $AB \parallel CD$ 且 $AD \parallel BC$。因此 $ABCD$ 是平行四边形。