三角形重心的向量恒等式

设 $M$ 为边 $BC$ 的中点。因为 $M$ 平分 $BC$，两个向量 $\overrightarrow{MB}$ 与 $\overrightarrow{MC}$ 长度相等且方向相反，故 $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$。由从 $G$ 经过 $M$ 的三角形法则，有 $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC})=2\overrightarrow{GM}$。

由 $\triangle ABC$ 的中线性质，重心 $G$ 位于中线 $AM$ 上且从顶点起按 $2:1$ 的比例分割中线，即 $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}$。

将两式相加得 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GM}=\vec{0}$。最后，对任意点 $O$，改写 $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG}$（对 $B$ 和 $C$ 同理）即得 $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-3\overrightarrow{OG}=\vec{0}$，也就是 $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$。