向量

若在三个顶点 $A$、$B$、$C$ 处各放一个相同的单位质量，则向量 $\overrightarrow{GA}$、$\overrightarrow{GB}$、$\overrightarrow{GC}$ 表示从 $G$ 指向各顶点的拉力；当且仅当 $G$ 为质心时，它们的和恰好为 $\vec{0}$。

设 $M$ 为边 $BC$ 的中点。因为 $M$ 平分 $BC$，两个向量 $\overrightarrow{MB}$ 与 $\overrightarrow{MC}$ 长度相等且方向相反，故 $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$。由从 $G$ 经过 $M$ 的三角形法则，有 $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC})=2\overrightarrow{GM}$。

由 $\triangle ABC$ 的中线性质，重心 $G$ 位于中线 $AM$ 上且从顶点起按 $2:1$ 的比例分割中线，即 $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}$。

将两式相加得 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GM}=\vec{0}$。最后，对任意点 $O$，改写 $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG}$（对 $B$ 和 $C$ 同理）即得 $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-3\overrightarrow{OG}=\vec{0}$，也就是 $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$。

将 $|\vec{u}-\vec{v}|^2$ 按坐标展开，并与由 $\vec{u}$、$\vec{v}$ 和 $\vec{u}-\vec{v}$ 构成的三角形上的余弦定理相比较，模的平方项彼此抵消，恰好分离出交叉项 $x_1x_2+y_1y_2$。

将 $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ 与 $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ 放在原点 $O$，使 $\overrightarrow{AB}=\vec{v}-\vec{u}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。由 $\triangle OAB$ 中的余弦定理，角 $\theta$ 对边长度的平方为 $|\vec{v}-\vec{u}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta$。

另一方面，用坐标计算模的平方得 $|\vec{u}|^2=x_1^2+y_1^2$，$|\vec{v}|^2=x_2^2+y_2^2$，以及 $|\vec{v}-\vec{u}|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-2(x_1x_2+y_1y_2)$。

令 $|\vec{v}-\vec{u}|^2$ 的两个表达式相等，并从两边减去 $x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2$，得到 $-2|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta=-2(x_1x_2+y_1y_2)$。两边同除以 $-2$ 即得 $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2$。