数量积与余弦定理

将 $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ 与 $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ 放在原点 $O$，使 $\overrightarrow{AB}=\vec{v}-\vec{u}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。由 $\triangle OAB$ 中的余弦定理，角 $\theta$ 对边长度的平方为 $|\vec{v}-\vec{u}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta$。

另一方面，用坐标计算模的平方得 $|\vec{u}|^2=x_1^2+y_1^2$，$|\vec{v}|^2=x_2^2+y_2^2$，以及 $|\vec{v}-\vec{u}|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-2(x_1x_2+y_1y_2)$。

令 $|\vec{v}-\vec{u}|^2$ 的两个表达式相等，并从两边减去 $x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2$，得到 $-2|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta=-2(x_1x_2+y_1y_2)$。两边同除以 $-2$ 即得 $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2$。