定理已证明

退化情形 a=0

命题陈述

若 $a=0$ ,方程 $ax+b=0$ 化简为 $b=0$ :当 $b=0$ 成立(为真命题)时,任何实数 x 都是解,有无穷多个解;当 $b\neq0$ 时,则完全无解。

为什么成立?

这说明“一次方程”这个名称其实依赖于 x 的系数不为零——一旦去掉这个条件,“唯一答案”这个概念就会崩塌成“任何答案都行”或“没有答案”两种极端情形。

证明思路

把 $a=0$ 直接代入 $ax+b=0$ :对任意实数 $x$ ,项 $ax$ 都变为 $0\cdot x=0$ ,因为任何数乘以0都是0。于是方程就变成了 $b=0$ ,这是一个只关于 $b$ 、完全不再提及 $x$ 的命题。

此时固定的数 $b$ 恰好只有两种可能。若 $b=0$ ,剩下的命题“ $0=0$ ”对代入的任何 $x$ 都成立——于是任何实数 $x$ 都满足原方程,得到无穷多个解。反之若 $b\neq0$ ,剩下的命题“ $b=0$ ”本身就是假的——无论代入什么 $x$ ,都无法把一个错误的数值命题变成真的,所以无论试哪个 $x$ ,方程都完全无解。

用到此定理的主题

一元一次方程

分步证明

该定理暂无分步证明。