波动能量守恒

对 $E(t)$ 在积分号下求导:$E'(t) = \int_0^L \left(u_t u_{tt} + c^2 u_x u_{xt}\right)dx$。

将波动方程 $u_{tt}=c^2 u_{xx}$ 代入,得 $E'(t) = \int_0^L \left(c^2 u_t u_{xx} + c^2 u_x u_{xt}\right)dx = c^2\int_0^L \left(u_t u_{xx} + u_x u_{xt}\right)dx$。注意被积函数恰好是 $\tfrac{\partial}{\partial x}(u_t u_x)$,故 $E'(t) = c^2\Big[u_t u_x\Big]_0^L$。

应用固定端边界条件 $u(0,t)=u(L,t)=0$,对边界条件关于 $t$ 求导得 $u_t(0,t)=u_t(L,t)=0$。因此 $E'(t) = c^2\big(u_t(L,t)u_x(L,t) - u_t(0,t)u_x(0,t)\big) = 0$,从而对所有 $t\ge 0$,$E(t)=E(0)$ 为常数。