微分方程与动力系统

波动方程

被拨动的琴弦、投入池塘的石子,以及一束光,都遵循同一个偏微分方程。两类解就能囊括一切:传播的行波,以及只在原地振荡、静止不动的驻波。

直观定格瞬间的一根被拨动的弦

拨动一根吉他弦,记录它在每一点、每一时刻的高度,便得到一个函数 $u(x,t)$ ,表示位置 $x$ 、时刻 $t$ 处的位移。往平静的池塘里投一颗石子,向外扩散的涟漪也遵循同一类规律,只是空间维数从一维变成了二维。在每种情形下,关键的物理事实都是局部的:某一点的加速度只取决于波在那一点弯曲的程度——绷紧的弦上凹陷越尖锐,把它拉回去的力就越大。这一个想法——"加速度正比于曲率"——正是波动方程。

向外扩散的涟漪,就像石子投入池塘中心后形成的圆形波纹——高度随距离衰减,而波形以恒定速度向外扩展。

大学从牛顿第二定律到偏微分方程

设一根理想化的弦,张力为 $T$ ,单位长度质量密度为 $\rho$ ,以微小的竖直位移 $u(x,t)$ 振动。对短线段 $[x, x+dx]$ 应用牛顿第二定律,并对张力的竖直分量使用小角近似,得到 $\rho\, u_{tt} = T\, u_{xx}$ 。记 $c^2 = T/\rho$ (这是一个速度,因为 $T$ 的量纲是力, $\rho$ 是单位长度的质量),便得到标准形式。

u_{tt} = c^2\, u_{xx}

大学行波:达朗贝尔的解

在整条直线 $\mathbb{R}$ 上,变换到特征坐标 $\xi = x - ct$ 、 $\eta = x + ct$ 。链式法则把 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ 变成更简单的 $u_{\xi\eta} = 0$ ,其通解为 $u = F(\xi) + G(\eta) = F(x-ct) + G(x+ct)$ ,其中 $F, G$ 是任意(二次可微)函数——一个向右传播的波加一个向左传播的波,二者都以速度 $c$ 传播且不改变形状。用初始位置 $u(x,0)=\varphi(x)$ 与初始速度 $u_t(x,0)=\psi(x)$ 加以匹配,便能精确确定 $F$ 与 $G$ 。

定理: 达朗贝尔公式

对于 $\mathbb{R}\times(0,\infty)$ 上满足 $u(x,0)=\varphi(x)$ 、 $u_t(x,0)=\psi(x)$ 的 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ ,其唯一解为 $u(x,t) = \tfrac{1}{2}\big(\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\big) + \tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds$ 。

为什么成立?

在 $(x,t)$ 处发生的一切只能依赖于 $[x-ct, x+ct]$ 上的初始数据:信息传播的速度不能超过 $c$ 。这种有限的传播速度正是波动方程区别于(比如说)热方程的决定性特征——在热方程中,初始扰动会瞬间被处处感知到。

证明

如上变换到特征坐标,得到 $u=F(x-ct)+G(x+ct)$ ;代入 $u(x,0)=\varphi(x)$ 与 $u_t(x,0)=\psi(x)$ ,得到关于 $F$ 、 $G$ (用 $\varphi$ 及 $\psi$ 的一个原函数表示)的两个方程,合并后即得所述公式。

例题: 一个脉冲被拨动后分裂成两个

一根无限长的弦从静止状态( $\psi(x)=0$ )出发,具有三角形脉冲 $\varphi(x) = 1-|x|$ ( $|x|\le1$ ),其余处 $\varphi(x)=0$ 。描述 $t>0$ 时的 $u(x,t)$ 。

解答

由于 $\psi=0$ ,积分项消失, $u(x,t) = \tfrac12\big(\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\big)$ :原来的脉冲以一半的高度分裂成两个完全相同的副本,以速度 $c$ 相互远离,一个向右、一个向左。在两个副本仍然重叠的地方(当 $t$ 较小时),高度直接相加,暂时重现原形状的一部分;一旦 $ct>1$ ,它们就完全分离了。

例题: 地震波到达时间与震中距离

一个地震仪站检测到 P 波(纵波,速度 $c_P = 6\text{ km/s}$ )在时刻 $t_P = 0$ 到达,S 波(横波,速度 $c_S = 3.5\text{ km/s}$ )在 $\Delta t = 45$ 秒后到达。假设两列波同时从同一震源产生并沿直线传播,求到地震震中的距离 $d$ 。

解答

第一步 — 建立时间方程。 P 波在时间 $d/c_P$ 内行进距离 $d$ ,S 波需要时间 $d/c_S$ 。测量的时差为 $\Delta t = d/c_S - d/c_P$ 。

**第二步 — 求解 $d$ 。** 提取因子 $d$ : $\Delta t = d\left(\tfrac{1}{c_S} - \tfrac{1}{c_P}\right)$ ,故 $d = \dfrac{\Delta t}{\tfrac{1}{c_S}-\tfrac{1}{c_P}}$ 。

第三步 — 代入数值。 $\tfrac{1}{c_S}-\tfrac{1}{c_P} = \tfrac{1}{3.5}-\tfrac{1}{6} \approx 0.2857 - 0.1667 = 0.1190\text{ s/km}$ ,故 $d = \dfrac{45}{0.1190} \approx 378\text{ km}$ 。这正是用单台地震仪定位地震的标准地震学 S-P 法。

大学有限长弦上的驻波与傅里叶级数

现在把弦的两端固定:对长度为 $L$ 的弦有 $u(0,t)=u(L,t)=0$ 。分离变量 $u(x,t)=X(x)T(t)$ ,迫使 $X$ 满足 $X''+\lambda X=0$ 且 $X(0)=X(L)=0$ ——这是一个特征值问题,其解恰好是 $n=1,2,3,\dots$ 时的 $X_n(x)=\sin(n\pi x/L)$ , $\lambda_n=(n\pi/L)^2$ 。每个这样的 $X_n$ 与 $T_n(t)=\cos(n\pi ct/L+\text{phase})$ 配对,给出一个简正模:整根弦原地振荡,所有点在同一时刻经过零点。这正是在[傅里叶级数](/chuoi-fourier)中见到的那些形状——波动方程正是该主题的正弦基底诞生之处,源自丹尼尔·伯努利在1753年对这个问题的分析。

u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi c t}{L}\right), \qquad b_n = \frac{2}{L}\int_0^L \varphi(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx

由

5

个正弦谐波构成的三角波(在中点被拨动的弦的形状)——正是被拨动的弦所分解成的简正模

\sin(n\pi x/L)

。

进阶能量守恒与高维情形

总能量 $E(t) = \frac12\int_0^L \left(u_t^2 + c^2 u_x^2\right) dx$ (动能加弹性势能)是守恒的:在积分号下求导、分部积分,再利用 $u_{tt}=c^2u_{xx}$ 及两端固定的边界条件,可得 $E'(t)=0$ 。这既印证了物理事实(无摩擦的弦永远不会耗尽能量),也给出了达朗贝尔解与简正模解是唯一解的简洁证明:若两个解具有相同的初始数据,它们之差的能量为零,因而必恒等于零。

定理: 波动能量守恒

设 $u(x,t)$ 是 $[0,L]$ 上满足固定端边界条件 $u(0,t)=u(L,t)=0$ 的波动方程 $u_{tt}=c^2 u_{xx}$ 的解。总能量 $E(t) = \tfrac{1}{2}\int_0^L \left(u_t^2 + c^2 u_x^2\right)dx$ 是常数:对所有 $t>0$ 都有 $E'(t)=0$ 。

为什么成立?

能量由两部分组成:动能 $\tfrac12\int u_t^2\,dx$ (质量运动)和弹性势能 $\tfrac12 c^2\int u_x^2\,dx$ (弦被拉伸)。波动方程以相同的速率将动能转化为弹性势能,又将弹性势能转化回动能,保持总量不变——就像钟摆在动能和势能之间无损地相互转换。

证明

对 $E(t)$ 在积分号下求导: $E'(t) = \int_0^L \left(u_t u_{tt} + c^2 u_x u_{xt}\right)dx$ 。

将波动方程 $u_{tt}=c^2 u_{xx}$ 代入,得 $E'(t) = \int_0^L \left(c^2 u_t u_{xx} + c^2 u_x u_{xt}\right)dx = c^2\int_0^L \left(u_t u_{xx} + u_x u_{xt}\right)dx$ 。注意被积函数恰好是 $\tfrac{\partial}{\partial x}(u_t u_x)$ ,故 $E'(t) = c^2\Big[u_t u_x\Big]_0^L$ 。

应用固定端边界条件 $u(0,t)=u(L,t)=0$ ,对边界条件关于 $t$ 求导得 $u_t(0,t)=u_t(L,t)=0$ 。因此 $E'(t) = c^2\big(u_t(L,t)u_x(L,t) - u_t(0,t)u_x(0,t)\big) = 0$ ,从而对所有 $t\ge 0$ , $E(t)=E(0)$ 为常数。

在二维空间中,一个边缘固定的矩形鼓膜具有简正模 $\sin(mx)\sin(ny)$ ;下图展示了相关的模式 $\sin(x)\cos(y)$ ——一个在整个曲面上起伏、而非沿一条直线传播的驻波。更高维度也带来了一个显著的定性差异,称为惠更斯原理:在奇数空间维度 $3, 5, 7,\dots$ 中,局部扰动会产生一个清晰的波前,之后归于寂静(这正是声音能被听清的原因);而在偶数维度 $2, 4, \dots$ (以及 $1$ 维)中,扰动会留下一个持续不散的"余波"。

二维膜上的驻波模式

z=\sin x\cos y

:某一瞬间的快照,峰谷交错的棋盘状图案整体原地起伏,而不会横向传播。

历史注记

波动方程是18世纪数学一场重大争论的主题。让·勒朗·达朗贝尔在1747年推导出行波解。莱昂哈德·欧拉在1748年认同这一数学结果,但允许比达朗贝尔愿意接受的更一般(甚至不可微)的初始形状,因为实际被拨动的弦在拨动点处会有一个尖角。丹尼尔·伯努利随后在1753年断言,每个解都可以写成正弦简正模 $\sin(n\pi x/L)$ 的无穷和——达朗贝尔和欧拉都难以相信这一断言,因为这似乎意味着一个带尖角的形状可以是完全光滑的正弦曲线之和。这场争论直到几十年后,约瑟夫·傅里叶关于热传导的研究(1807年、1822年)以及19世纪的收敛理论精确界定了这种无穷和的"相等"应作何解释,才得以解决。

莱昂哈德·欧拉

波动方程 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ 需要多少个初始数据才能确定唯一解?

在达朗贝尔公式中, $(x,t)$ 处的值只依赖于哪个区间上的初始数据?

对于两端固定、长度为 $L$ 的弦,简正模(驻波)的空间形状是

达朗贝尔公式 $u(x,t)=\tfrac12[\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)]+\tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds$ 恰好简化为 $u(x,t)=\tfrac12[\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)]$ 的条件是

参考文献

Lawrence C. Evans (2010). Partial Differential Equations · DOI:10.1090/gsm/019
Walter A. Strauss (2008). Partial Differential Equations: An Introduction
Jean le Rond d'Alembert (1747). Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration