米田引理

命题陈述

设 $\mathcal{C}$ 是局部小范畴,$A$ 是 $\mathcal{C}$ 中的对象,$F:\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ 是一个函子。存在一个自然的双射 $\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(-,A),\,F)\cong F(A)$,它对 $A$ 与 $F$ 都自然。特别地,米田嵌入 $A\mapsto \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(-,A)$ 是全忠实函子。

为什么成立?

一个对象在同构意义下完全由范畴中所有其他对象指向它的箭头之网所决定——我们永远不需要看对象的“内部”,只需知道它与其他一切的关系。

用到此定理的主题

分步证明

该定理暂无分步证明。