Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2009

Đề thi

Bài 1Xét phép toán sau trên các số thực dương viết trên bảng: chọn một số $r$ trên bảng, xóa số đó, rồi viết lên bảng một cặp số thực dương $a$ và $b$ thỏa mãn $2r^2=ab$ . Ban đầu trên bảng chỉ có một số thực dương $r$ , và ta thực hiện phép toán này $k^2-1$ lần để thu được $k^2$ số thực dương, không nhất thiết phân biệt. Chứng minh rằng có một số trên bảng không vượt quá $kr$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho các số thực $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ thỏa mãn $\frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac1{k^2}$ với $k=1,2,3,4,5$ . Tìm giá trị của $\frac{a_1}{37}+\frac{a_2}{38}+\frac{a_3}{39}+\frac{a_4}{40}+\frac{a_5}{41}$ (viết kết quả dưới dạng một phân số duy nhất).Các cách giải: 1
Bài 3Cho ba đường tròn $\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3$ đôi một không giao nhau và nằm ngoài nhau trong mặt phẳng. Với mỗi điểm $P$ ở ngoài cả ba đường tròn, dựng sáu điểm $A_1,B_1,A_2,B_2,A_3,B_3$ như sau: với mỗi $i=1,2,3$ , $A_i,B_i$ là hai điểm phân biệt trên $\Gamma_i$ sao cho các đường thẳng $PA_i$ và $PB_i$ đều là tiếp tuyến của $\Gamma_i$ . Gọi $P$ là đặc biệt nếu ba đường thẳng $A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3$ đồng quy. Chứng minh rằng mọi điểm đặc biệt, nếu tồn tại, đều nằm trên cùng một đường tròn.Các cách giải: 1
Bài 4Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ , tồn tại một cấp số cộng $\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\ldots,\frac{a_k}{b_k}$ gồm các số hữu tỉ, trong đó $a_i,b_i$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với mỗi $i=1,2,\ldots,k$ , sao cho các số nguyên dương $a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k$ đôi một khác nhau.Các cách giải: 1
Bài 5Larry và Rob là hai robot đi trong cùng một ô tô từ Argovia đến Zillis. Cả hai điều khiển tay lái theo thuật toán: Larry rẽ trái 90° sau mỗi $\ell$ kilômét kể từ lúc xuất phát; Rob rẽ phải 90° sau mỗi $r$ kilômét, trong đó $\ell$ và $r$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Nếu hai lần rẽ xảy ra đồng thời, xe tiếp tục đi thẳng không đổi hướng. Giả sử mặt đất phẳng và xe có thể đi theo mọi hướng. Xe khởi hành từ Argovia hướng về Zillis. Với những cặp $(\ell,r)$ nào xe chắc chắn đến Zillis, bất kể khoảng cách giữa hai nơi là bao nhiêu?Các cách giải: 1