Bài 2

Cho các số thực

a_1,a_2,a_3,a_4,a_5

thỏa mãn

\frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac1{k^2}

với

k=1,2,3,4,5

. Tìm giá trị của

\frac{a_1}{37}+\frac{a_2}{38}+\frac{a_3}{39}+\frac{a_4}{40}+\frac{a_5}{41}

(viết kết quả dưới dạng một phân số duy nhất).

Bước 1 trên 5: Mã hóa các phương trình

R(x)=\sum_{j=1}^{5}\frac{a_j}{x^2+j},\quad R(\pm k)=\frac1{k^2}\ (1\le k\le5)

Phân tích chi tiết

Đặt R(x)=a_1/(x^2+1)+⋯+a_5/(x^2+5). Các phương trình đã cho cho R(±k)=1/k^2 với k=1,…,5 vì R chỉ phụ thuộc x^2.