Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2011

Đề thi

Bài 1Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng không thể cả ba số $a^2+b+c$ , $b^2+c+a$ và $c^2+a+b$ đều là số chính phương.Các cách giải: 1
Bài 2Năm điểm $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ nằm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Tìm giá trị lớn nhất có thể của góc nhỏ nhất $\angle A_iA_jA_k$ trên mọi chỉ số $i,j,k$ đôi một khác nhau.Các cách giải: 1
Bài 3Cho tam giác nhọn $ABC$ với $\angle BAC=30^\circ$ . Các đường phân giác trong và ngoài của $\angle ABC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $B_1,B_2$ , và các đường phân giác trong và ngoài của $\angle ACB$ cắt đường thẳng $AB$ tại $C_1,C_2$ . Hai đường tròn có các đường kính $B_1B_2$ và $C_1C_2$ cắt nhau bên trong $ABC$ tại $P$ . Chứng minh $\angle BPC=90^\circ$ .Các cách giải: 1
Bài 4Cho $n$ là số nguyên dương lẻ cố định. Lấy $m+2$ điểm phân biệt $P_0,P_1,\ldots,P_{m+1}$ trên mặt phẳng tọa độ sao cho: (1) $P_0=(0,1)$ , $P_{m+1}=(n+1,n)$ , và với $1\le i\le m$ , cả hai tọa độ của $P_i$ là các số nguyên từ $1$ đến $n$ ; (2) với $0\le i\le m$ , đoạn $P_iP_{i+1}$ song song trục $x$ nếu $i$ chẵn và song song trục $y$ nếu $i$ lẻ; (3) với $0\le i<j\le m$ , hai đoạn $P_iP_{i+1}$ và $P_jP_{j+1}$ có nhiều nhất một điểm chung. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $m$ .Các cách giải: 1
Bài 5Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ bị chặn trên và thỏa mãn $f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)$ với mọi số thực $x,y$ .Các cách giải: 1