Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1963

Đề thi

Bài 1Với những giá trị thực nào của $p$ phương trình $\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x$ có nghiệm thực? Hãy tìm các nghiệm đó.Các cách giải: 1
Bài 2Cho điểm $A$ và đoạn thẳng $BC$ . Hãy xác định quỹ tích các điểm $P$ trong không gian sao cho tồn tại điểm $X$ trên đoạn $BC$ với $\angle APX=90^\circ$ .Các cách giải: 1
Bài 3Trong một đa giác $n$ cạnh có các góc trong bằng nhau, độ dài các cạnh liên tiếp thỏa $a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n$ . Chứng minh $a_1=a_2=\cdots=a_n$ .Các cách giải: 1
Bài 4Tìm mọi nghiệm thực $x_1,\ldots,x_5$ của $x_i+x_{i+2}=yx_{i+1}$ với $i=1,\ldots,5$ , trong đó chỉ số được lấy modulo $5$ .Các cách giải: 1
Bài 5Chứng minh $\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}=\frac12$ .Các cách giải: 1
Bài 6Năm học sinh $A,B,C,D,E$ tham gia một cuộc thi. Dự đoán thứ nhất là thứ tự $ABCDE$ . Không ai về đúng vị trí dự đoán, và không có hai thí sinh nào được dự đoán liên tiếp lại thực sự đứng liên tiếp. Dự đoán thứ hai là $DAECB$ . Có đúng hai thí sinh về đúng vị trí dự đoán, và có hai cặp rời nhau được dự đoán liên tiếp rồi thực sự đứng liên tiếp. Hãy xác định thứ tự thực tế.Các cách giải: 1