MathLabs

第1题

对于哪些实数 pp，方程 x2−p+2x2−1=x\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x 有实根？求出这些根。
第 1/5 步：限制定义域
上一步下一步
通俗地说

根式条件先把解压缩到一个短的正区间，再进行平方。

x≥0,2x2−1≤x,x2−p≤xx\ge 0,\qquad 2\sqrt{x^2-1}\le x,\qquad \sqrt{x^2-p}\le x
详细分析

左边非负，故 x≥0x\ge0。由 2x2−1≤x2\sqrt{x^2-1}\le x 得 x≤2/3x\le2/\sqrt3；又因 x2≥1x^2\ge1，所以 x≥1x\ge1。最后 x2−p≤x\sqrt{x^2-p}\le x 给出 p≥0p\ge0。