Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1966

Đề thi

Bài 1Ba bài toán $A$ , $B$ và $C$ được ra trong một kỳ olympic toán. Cả 25 học sinh đều giải được ít nhất một trong ba bài này. Số học sinh giải được $B$ mà không giải được $A$ gấp đôi số học sinh giải được $C$ mà không giải được $A$ . Số học sinh chỉ giải được $A$ nhiều hơn 1 so với số học sinh, cùng với $A$ , còn giải được ít nhất một bài khác. Trong số các học sinh chỉ giải được đúng một bài, một nửa giải được $A$ . Hỏi có bao nhiêu học sinh chỉ giải được $B$ ?Các cách giải: 1
Bài 2Cho $a$ , $b$ , $c$ là độ dài các cạnh và $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ là các góc tương ứng của một tam giác thỏa $a+b=\tan\frac{\gamma}{2}\left(a\tan\alpha+b\tan\beta\right)$ . Chứng minh tam giác đó cân.Các cách giải: 1
Bài 3Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ các đỉnh của một tứ diện đều tới tâm mặt cầu ngoại tiếp nhỏ hơn tổng các khoảng cách từ các đỉnh đó tới bất kỳ điểm nào khác trong không gian.Các cách giải: 1
Bài 4Chứng minh đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên $n$ và mọi số thực $x$ sao cho không mẫu số nào triệt tiêu (tức $x\ne \frac{k\pi}{2^t}$ với $t=0,1,\dots,n$ và $k$ nguyên): $\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\frac{1}{\sin 8x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} = \cot x - \cot 2^nx.$ Các cách giải: 1
Bài 5Giải hệ phương trình sau với các ẩn thực $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $x_4$ : $\begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned}$ trong đó $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ là các số thực đôi một khác nhau.Các cách giải: 1
Bài 6Cho $M$ , $K$ , $L$ lần lượt là các điểm nằm trong các cạnh $AB$ , $BC$ , $CA$ của tam giác $ABC$ . Chứng minh rằng diện tích ít nhất một trong ba tam giác $\triangle AML$ , $\triangle KBM$ , $\triangle LCK$ nhỏ hơn hoặc bằng một phần tư diện tích tam giác $ABC$ .Các cách giải: 1