第3問

正四面体の各頂点から外接球の中心までの距離の和は、これらの頂点から空間内の他のどの点までの距離の和よりも小さいことを証明せよ。

ステップ 1/6: 1組の対辺に着目する

ざっくり言うと

$C$ と $D$ から等距離にある頂点は自動的に $CD$ の垂直二等分平面上にある。この幾何学的事実が、この先の証明全体を成り立たせている。

AC=AD,\ BC=BD \ \Rightarrow\ A,B\in\Pi

正四面体

ABCD

詳しい解説

正四面体を $ABCD$ とし、辺 $CD$ の中点を $X$ とする。 $AC=AD$ かつ $BC=BD$ であるから、 $A$ と $B$ はいずれも線分 $CD$ の垂直二等分平面 $\Pi$ (これは $X$ を通る)上にある。