Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1967

Đề thi

Bài 1Cho hình bình hành $ABCD$ với $AB=a$ , $AD=1$ và $\angle BAD=\alpha$ . Nếu $\triangle ABD$ nhọn, chứng minh bốn đường tròn bán kính $1$ tâm $A,B,C,D$ phủ kín hình bình hành khi và chỉ khi $a\le\cos\alpha+\sqrt3\sin\alpha$ .Các cách giải: 1
Bài 2Chứng minh rằng nếu chỉ có đúng một cạnh của một tứ diện dài hơn $1$ thì thể tích của tứ diện không vượt quá $\frac18$ .Các cách giải: 1
Bài 3Cho $k,m,n$ là các số tự nhiên sao cho $m+k+1$ là số nguyên tố lớn hơn $n+1$ . Đặt $c_s=s(s+1)$ . Chứng minh rằng $(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\cdots(c_{m+n}-c_k)$ chia hết cho $c_1c_2\cdots c_n$ .Các cách giải: 1
Bài 4Cho $A_0B_0C_0$ và $A_1B_1C_1$ là hai tam giác nhọn bất kỳ. Xét mọi tam giác $ABC$ đồng dạng với $A_1B_1C_1$ (các đỉnh tương ứng) và ngoại tiếp $A_0B_0C_0$ , trong đó $A_0$ nằm trên $BC$ , $B_0$ trên $CA$ , $C_0$ trên $AB$ . Hãy xác định và dựng tam giác có diện tích lớn nhất.Các cách giải: 1
Bài 5Cho $a_1,\ldots,a_8$ là các số thực không đồng thời bằng 0 và $c_n=a_1^n+\cdots+a_8^n$ với $n=1,2,\ldots$ . Giả sử có vô hạn số hạng $c_n$ bằng 0. Hãy xác định mọi giá trị $n$ sao cho $c_n=0$ .Các cách giải: 1
Bài 6Trong một cuộc thi thể thao, có $m$ huy chương được trao trong $n$ ngày liên tiếp ( $n>1$ ). Ngày đầu trao một huy chương và $\frac17$ số $m-1$ huy chương còn lại. Ngày thứ hai trao hai huy chương và $\frac17$ số huy chương khi đó còn lại, và tiếp tục như vậy. Ngày thứ $n$ và là ngày cuối trao $n$ huy chương còn lại. Tìm $m$ và $n$ .Các cách giải: 1