Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1968

Đề thi

Bài 1Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tam giác có độ dài các cạnh là ba số nguyên liên tiếp, trong đó một góc gấp đôi một góc khác.Các cách giải: 1
Bài 2Tìm tất cả các số tự nhiên $x$ sao cho tích các chữ số của nó (viết trong hệ thập phân) bằng $x^2 - 10x - 22$ .Các cách giải: 1
Bài 3Xét hệ phương trình sau với các ẩn $x_1, x_2, \ldots, x_n$ , trong đó $a, b, c$ là các số thực và $a \neq 0$ : $ax_1^2+bx_1+c=x_2,\quad ax_2^2+bx_2+c=x_3,\quad \ldots,\quad ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\quad ax_n^2+bx_n+c=x_1.$ Đặt $\Delta=(b-1)^2-4ac$ . Chứng minh rằng: (a) nếu $\Delta<0$ thì hệ vô nghiệm; (b) nếu $\Delta=0$ thì hệ có đúng một nghiệm; (c) nếu $\Delta>0$ thì hệ có nhiều hơn một nghiệm.Các cách giải: 1
Bài 4Chứng minh rằng trong mọi tứ diện đều có một đỉnh sao cho ba cạnh gặp nhau tại đỉnh đó có độ dài là ba cạnh của một tam giác.Các cách giải: 1
Bài 5Cho $f$ là hàm giá trị thực xác định với mọi số thực $x$ , sao cho với một hằng số dương $a$ , phương trình $f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-f(x)^2}$ đúng với mọi $x$ . (a) Chứng minh rằng $f$ là hàm tuần hoàn. (b) Với $a=1$ , hãy cho một ví dụ về hàm không hằng có tính chất trên.Các cách giải: 1
Bài 6Ký hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ . Với $n$ nguyên dương, hãy biểu diễn $[\frac{n+1}{2}]+[\frac{n+2}{4}]+[\frac{n+4}{8}]+\cdots$ theo $n$ .Các cách giải: 1