Math Labs

Bài 2

Tìm tất cả các số tự nhiên xx sao cho tích các chữ số của nó (viết trong hệ thập phân) bằng x2−10x−22x^2 - 10x - 22.
Bước 1 trên 5: Tích các chữ số không bao giờ vượt quá x
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Việc thêm mỗi chữ số sau chữ số đầu tiên chỉ có thể nhân tích các chữ số lên tối đa 99 lần, trong khi nó nhân chính xx lên khoảng 1010 lần; vì vậy với các số có nhiều hơn một chữ số, tích các chữ số nhanh chóng tụt lại rất xa so với xx.

x=d1d2⋯dn‾  ⟹  d1d2⋯dn≤d1⋅10n−1≤xx=\overline{d_1d_2\cdots d_n} \;\Longrightarrow\; d_1d_2\cdots d_n \le d_1\cdot 10^{n-1} \le x
Phân tích chi tiết

Viết khai triển thập phân của xx là d1d2⋯dnd_1d_2\cdots d_n, với d1≥1d_1\ge1. Vì mỗi chữ số không vượt quá 9<109<10, tích d1d2⋯dn≤d1⋅10n−1d_1d_2\cdots d_n\le d_1\cdot10^{n-1}, và x≥d1⋅10n−1x\ge d_1\cdot10^{n-1} vì d1d_1 là chữ số đầu tiên. Do đó tích các chữ số luôn không vượt quá xx, và chỉ bằng đúng khi xx có một chữ số.