Math Labs

Bài 5

Cho ff là hàm giá trị thực xác định với mọi số thực xx, sao cho với một hằng số dương aa, phương trình f(x+a)=12+f(x)−f(x)2f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-f(x)^2} đúng với mọi xx. (a) Chứng minh rằng ff là hàm tuần hoàn. (b) Với a=1a=1, hãy cho một ví dụ về hàm không hằng có tính chất trên.
Bước 1 trên 5: Phương trình buộc f không nhỏ hơn một phần hai
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hệ thức truy hồi không bao giờ cho ra giá trị nhỏ hơn 12\frac12: nó bắt đầu từ 12\frac12 rồi cộng thêm một lượng không âm. Vì mọi đối số thực đều viết được dưới dạng x+ax+a, chặn một phía này áp dụng trên toàn miền, không chỉ trên một bản dịch của hàm.

f(x+a)=12+f(x)−f(x)2≥12f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-f(x)^2}\ge\frac12
Phân tích chi tiết

Căn bậc hai không âm, nên phương trình định nghĩa cho f(x+a)=12+f(x)−f(x)2≥12f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-f(x)^2}\ge\frac12. Vì x+ax+a chạy qua mọi số thực khi xx chạy qua mọi số thực, suy ra f(y)≥12f(y)\ge\frac12 với mọi số thực yy. Đặc biệt mọi giá trị của ff nằm trong miền cho phép bước biến đổi căn tiếp theo.