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国际数学奥林匹克 · 1978年

试题

  1. 第1题设 mm 和 nn 是满足 1≤m<n1 \le m < n 的正整数。已知 1978m1978^m 的十进制表示的末三位数字与 1978n1978^n 的末三位数字相同。求使 mm 取最小值的 nn 和 m+nm+n。解法: 1
  2. 第2题在一个固定球的内部取一个固定点 PP。作三条两两垂直的线段 PA,PB,PCPA, PB, PC，其端点 A,B,CA, B, C 都在球面上。以 QQ 为棱作长方体，设 PP 为其中与 PA,PB,PCPA, PB, PC 相对的顶点。当 QQ 取遍所有符合条件的位置时，求点 A,B,CA, B, C 的轨迹。解法: 1
  3. 第3题设 0<f(1)<f(2)<f(3)<…0<f(1)<f(2)<f(3)<\ldots 是一个各项均为正整数的数列。不属于该数列的第 nn 个正整数为 f(f(n))+1f(f(n))+1。求 f(240)f(240)。解法: 1
  4. 第4题在三角形 ABCABC 中 AB=ACAB=AC。一圆与外接圆内切，并在 AB,ACAB,AC 上分别与 P,QP,Q 相切。证明 PQPQ 的中点是三角形 ABC 的内心。解法: 1
  5. 第5题设 ff 是从 {1,2,3,…}\{1,2,3,\ldots\} 到自身的单射。证明对任意 nn 有 ∑k=1nf(k)k−2≥∑k=1nk−1\sum_{k=1}^{n} f(k)k^{-2} \geq \sum_{k=1}^{n} k^{-1}。解法: 1
  6. 第6题一个国际协会的成员来自六个不同国家。成员名单有 19781978 人，编号为 1,2,…,19781,2,\ldots,1978。证明至少有一名成员，其编号是本国两名成员编号之和，或是本国一名成员编号的两倍。解法: 1