Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1978

Đề thi

Bài 1Cho $m$ và $n$ là các số nguyên dương với $1 \le m < n$ . Trong biểu diễn thập phân, ba chữ số cuối của $1978^m$ bằng ba chữ số cuối của $1978^n$ . Tìm $m$ và $n$ sao cho $m+n$ đạt giá trị nhỏ nhất.Các cách giải: 1
Bài 2Xét một điểm cố định $P$ nằm trong một mặt cầu cố định. Dựng ba đoạn thẳng $PA, PB, PC$ đôi một vuông góc, với các đỉnh $A, B, C$ nằm trên mặt cầu. Xét đỉnh $Q$ đối diện với $P$ trong hình hộp chữ nhật có $PA, PB, PC$ là ba cạnh. Tìm quỹ tích điểm $Q$ khi $A, B, C$ nhận mọi vị trí phù hợp với đề bài.Các cách giải: 1
Bài 3Cho $0<f(1)<f(2)<f(3)<\ldots$ là một dãy gồm toàn số nguyên dương. Số nguyên dương thứ $n$ không thuộc dãy này là $f(f(n))+1$ . Tìm $f(240)$ .Các cách giải: 1
Bài 4Trong tam giác $ABC$ có $AB=AC$ . Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp đồng thời tiếp xúc với $AB,AC$ tại $P,Q$ . Chứng minh trung điểm $PQ$ là tâm nội tiếp tam giác ABC.Các cách giải: 1
Bài 5Cho $f$ là một hàm đơn ánh từ $\{1,2,3,\ldots\}$ vào chính nó. Chứng minh rằng với mọi $n$ ta có $\sum_{k=1}^{n} f(k)k^{-2} \geq \sum_{k=1}^{n} k^{-1}$ .Các cách giải: 1
Bài 6Một hội quốc tế có thành viên từ sáu quốc gia. Danh sách có $1978$ người, đánh số $1,2,\ldots,1978$ . Chứng minh tồn tại thành viên mà số của người đó là tổng số của hai thành viên cùng quốc gia, hoặc gấp đôi số của một thành viên cùng quốc gia.Các cách giải: 1