Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1986

Đề thi

Bài 1Cho $d$ là một số nguyên dương bất kỳ khác $2$ , $5$ và $13$ . Chứng minh rằng có thể tìm được hai phần tử phân biệt $a$ và $b$ trong tập $\{2, 5, 13, d\}$ sao cho $ab - 1$ không phải là số chính phương.Các cách giải: 2
Bài 2Cho điểm $P_0$ trong mặt phẳng của tam giác $A_1A_2A_3$ , đặt $A_s=A_{s-3}$ với mọi $s\ge4$ . Dựng các điểm $P_1,P_2,\ldots$ sao cho $P_{k+1}$ là ảnh của $P_k$ qua phép quay thuận chiều kim đồng hồ góc $120^\circ$ tâm $A_{k+1}$ . Chứng minh rằng nếu $P_{1986}=P_0$ thì tam giác $A_1A_2A_3$ là tam giác đều.Các cách giải: 1
Bài 3Gán một số nguyên vào mỗi đỉnh của một ngũ giác đều sao cho tổng năm số dương. Nếu ba đỉnh liên tiếp mang các số $x,y,z$ với $y<0$ , thay chúng lần lượt bằng $x+y,-y,z+y$ . Lặp lại phép toán khi còn số âm. Hỏi quy trình có luôn kết thúc sau hữu hạn bước không?Các cách giải: 2
Bài 4Cho $A,B$ là hai đỉnh kề nhau của một đa giác đều $n$ cạnh ( $n\ge5$ ), tâm $O$ . Tam giác $XYZ$ bằng và ban đầu trùng với $OAB$ , chuyển động sao cho $Y$ và $Z$ lần lượt đi hết biên của đa giác, còn $X$ luôn nằm trong đa giác. Hãy tìm quỹ tích của $X$ .Các cách giải: 1
Bài 5Tìm tất cả các hàm $f$ ánh xạ toàn ánh tập số thực không âm lên chính tập đó, thỏa mãn $f(xf(y))f(y)=f(x+y)$ với mọi số thực không âm $x,y$ , cùng với $f(2)=0$ và $f(x)\ne0$ với mọi $0\le x<2$ .Các cách giải: 2
Bài 6Cho một tập hữu hạn các điểm trên mặt phẳng, mỗi điểm có tọa độ nguyên. Có phải luôn có thể tô các điểm đỏ hoặc trắng sao cho với mọi đường thẳng $L$ song song với một trong hai trục tọa độ, trị tuyệt đối của hiệu giữa số điểm trắng và số điểm đỏ trên $L$ không vượt quá $1$ ?Các cách giải: 1