Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1992

Đề thi

Bài 1Tìm tất cả các số nguyên a,b,c thỏa $1<a<b<c$ sao cho $(a-1)(b-1)(c-1)$ là ước của $abc-1$ . Các cách giải: 1
Bài 2Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho $f(x^2+f(y))=y+f(x)^2$ với mọi số thực $x,y$ .Các cách giải: 1
Bài 3Xét 9 điểm trong không gian, không có 4 điểm đồng phẳng. Mỗi cặp điểm được nối bởi một cạnh tô đỏ, tô xanh hoặc để không tô. Tìm số nguyên nhỏ nhất $n$ sao cho cứ tô đúng $n$ cạnh thì tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu. Các cách giải: 1
Bài 4Cho $\mathcal C$ là đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $L$ , và $M\in L$ . Tìm quỹ tích điểm $P$ sao cho tồn tại hai điểm phân biệt $Q,R\in L$ cách đều $M$ và $\mathcal C$ là đường tròn nội tiếp tam giác $PQR$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho $S$ là một tập hữu hạn các điểm trong không gian, và $S_x,S_y,S_z$ lần lượt là các hình chiếu vuông góc của nó lên các mặt phẳng $yz$ , $zx$ , $xy$ . Chứng minh $|S|^2\le |S_x||S_y||S_z|$ . Các cách giải: 1
Bài 6Với mỗi số nguyên dương $n$ , gọi $S(n)$ là số nguyên lớn nhất sao cho mọi $k\le S(n)$ đều cho phép viết $n^2$ thành tổng của $k$ bình phương dương. (a) Chứng minh $S(n)\le n^2-14$ với $n\ge4$ ; (b) tìm $n$ đạt đẳng thức; (c) chứng minh có vô hạn số $n$ như vậy.Các cách giải: 1