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国际数学奥林匹克 · 1992年

试题

  1. 第1题求满足1<a<b<c1<a<b<c且(a−1)(b−1)(c−1)(a-1)(b-1)(c-1)为abc−1abc-1的因数的所有整数a,b,c。 解法: 1
  2. 第2题求所有函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R，使对任意实数 x,yx,y 都有 f(x2+f(y))=y+f(x)2f(x^2+f(y))=y+f(x)^2。解法: 1
  3. 第3题考虑空间中的9个点，且任意4点不共面。每对点连一条红色、蓝色或不着色的边。求最小整数 nn，使得恰好染色 nn 条边时必存在三条边同色的三角形。 解法: 1
  4. 第4题设 C\mathcal C 为与直线 LL 相切的圆，且 M∈LM\in L。求点 PP 的轨迹，使得存在关于 MM 等距的不同两点 Q,R∈LQ,R\in L，并且 C\mathcal C 是三角形 PQRPQR 的内切圆。解法: 1
  5. 第5题设 SS 是空间中的有限点集，Sx,Sy,SzS_x,S_y,S_z 分别为它在 yzyz、zxzx、xyxy 平面上的正交投影。证明 ∣S∣2≤∣Sx∣∣Sy∣∣Sz∣|S|^2\le |S_x||S_y||S_z|。 解法: 1
  6. 第6题对每个正整数 nn，令 S(n)S(n) 为使所有 k≤S(n)k\le S(n) 都能把 n2n^2 写成 kk 个正平方数之和的最大整数。(a) 证明 S(n)≤n2−14S(n)\le n^2-14 对 n≥4n\ge4 成立；(b) 找出取等号的 nn；(c) 证明这样的 nn 有无穷多个。解法: 1