Math Labs

Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1996

Đề thi

  1. Bài 1We là given a số nguyên dương r r và a rectangular bảng divided inđến 20×1220\times12 unit bình phươngs. A bước đi từ one bình phương đến another là permitted chỉ when khoảng cách between their tâms là r\sqrt r . Find a dãy của bước đlà leading between two adjacent corners của bảng thtại lie trên long side. (a) Chứng minh rằng thlà là impossible if r r là divisible bởi 22 hoặc 33. (b) Chứng minh rằng it là possible cho r=73 r=73. (c) Can it be done cho r=97 r=97?Các cách giải: 1
  2. Bài 2Cho P P be a điểm inside tam giác ABC ABC sao cho ∠APB−∠ACB=∠APC−∠ABC\angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC . Cho D D và E E be intâms của tam giács APB APB và APC APC , respectively. Chứng minh rằng AP AP , BD BD , và CE CE meet tại a điểm.Các cách giải: 1
  3. Bài 3Cho S S be set của non-negative nguyêns. Tìm tất cả hàms f:S→S f:S\to S sao cho f(m+f(n))=f(f(m))+f(n) f(m+f(n))=f(f(m))+f(n) với mọi m,n∈S m,n\in S .Các cách giải: 1
  4. Bài 4The số nguyên dương a a và b b là sao cho 15a+16b15a+16b và 16a−15b16a-15b là both bình phươngs của số nguyên dương. Whtại là least possible value của smaller của these two bình phươngs?Các cách giải: 1
  5. Bài 5Cho ABCDEF ABCDEF be a convex hexagtrên sao cho AB∥DE AB\parallel DE , BC∥EF BC\parallel EF , và CD∥FA CD\parallel FA . Cho RA,RC,RE R_A,R_C,R_E be circumradii của tam giács FAB FAB , BCD BCD , DEF DEF , respectively, và let p p be perimeter của hexagon. Chứng minh rằng RA+RC+RE≥p/2 R_A+R_C+R_E\ge p/2.Các cách giải: 1
  6. Bài 6Cho p,q,n p,q,n be số nguyên dương với p+q<n p+q<n . Cho x0,x1,…,xn x_0,x_1,\ldots,x_n be nguyêns với x0=xn=0 x_0=x_n=0, và cho mỗi 1≤i≤n1\le i\le n Bản dịch: let xi−xi−1=p x_i-x_{i-1}=p hoặc −q-q . Chứng minh rằng there exist i<j i<j , với (i,j)≠(0,n)(i,j)\ne(0,n), sao cho xi=xj x_i=x_j .Các cách giải: 1