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国际数学奥林匹克 · 1996年

试题

  1. 第1题We 是given a 正整数 r r 且a rectangular 棋盘 divided in到 20×1220\times12 unit 平方s. A 移动 从one 平方 到another 是permitted 仅when 距离 between their 中心s 是 r\sqrt r . Find a 数列 的移动s leading between two adjacent corners 的棋盘 th在lie 上long side. (a) 证明 th是是impossible if r r 是divisible 由 22 或 33. (b) 证明 it 是possible 对于 r=73 r=73. (c) Can it be done 对于 r=97 r=97?解法: 1
  2. 第2题设 P P be a 点 inside 三角形 ABC ABC 使得 ∠APB−∠ACB=∠APC−∠ABC\angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC . 设 D D 且 E E be in中心s 的三角形s APB APB 且 APC APC , respectively. 证明 AP AP , BD BD , 且 CE CE meet 在a 点.解法: 1
  3. 第3题设 S S be set 的non-negative 整数s. 求出所有 函数s f:S→S f:S\to S 使得 f(m+f(n))=f(f(m))+f(n) f(m+f(n))=f(f(m))+f(n) 对所有 m,n∈S m,n\in S .解法: 1
  4. 第4题The 正整数 a a 且 b b 是使得 15a+16b15a+16b 且 16a−15b16a-15b 是both 平方s 的正整数. Wh在是least possible value 的smaller 的these two 平方s?解法: 1
  5. 第5题设 ABCDEF ABCDEF be a convex hexag上使得 AB∥DE AB\parallel DE , BC∥EF BC\parallel EF , 且 CD∥FA CD\parallel FA . 设 RA,RC,RE R_A,R_C,R_E be circumradii 的三角形s FAB FAB , BCD BCD , DEF DEF , respectively, 且let p p be perimeter 的hexagon. 证明 RA+RC+RE≥p/2 R_A+R_C+R_E\ge p/2.解法: 1
  6. 第6题设 p,q,n p,q,n be 正整数 满足 p+q<n p+q<n . 设 x0,x1,…,xn x_0,x_1,\ldots,x_n be 整数s 满足 x0=xn=0 x_0=x_n=0, 且对于每个 1≤i≤n1\le i\le n 译文： let xi−xi−1=p x_i-x_{i-1}=p 或 −q-q . 证明 there exist i<j i<j , 满足 (i,j)≠(0,n)(i,j)\ne(0,n), 使得 xi=xj x_i=x_j .解法: 1