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第1問

ABCABC を満たす鋭角三角形を AB≠ACAB\ne AC とする。BCBC を直径とする円は辺 ABAB、ACAC とそれぞれ点 MM、NN で交わる。辺 OO の中点を BCBC とする。角 ∠BAC\angle BAC と角 ∠MON\angle MON の二等分線は点 RR で交わる。三角形 BMRBMR と CNRCNR の外接円が辺 BCBC 上に共通点を持つことを証明せよ。
ステップ 1/4: M,NM,N を垂線の足として特定する
前のステップ次のステップ
BM⊥AB (since ∠BMC=90∘), CN⊥AC (since ∠BNC=90∘); H:=CM∩BN=orthocenterBM\perp AB \text{ (since } \angle BMC=90^\circ\text{)},\ CN\perp AC \text{ (since }\angle BNC=90^\circ\text{)};\ H:=CM\cap BN=\text{orthocenter}
詳しい解説

M は直径 BC の円上にあるので angle BMC=90^circ、したがって CMperp AB である。同様に BNperp AC。よって M,N はそれぞれ C,B からの高さの足であり、H=CMcap BN は垂心である。 MM BCBC angleBMC=90circangle BMC=90^circ CMperpABCMperp AB BNperpACBNperp AC MM NN CC BB H=CMcapBNH=CMcap BN