Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2016

Đề thi

Bài 1Trong ngũ giác lồi $ABCDE$ với $\angle B>90^\circ$ , gọi $F$ là điểm trên đoạn thẳng $AC$ sao cho $\angle FBC=90^\circ$ . Cho biết $FA=FB$ , $DA=DC$ , $EA=ED$ , và các tia $AC$ , $AD$ chia ba góc $\angle BAE$ . Gọi $M$ là trung điểm của $CF$ . Gọi $X$ là điểm sao cho $AMXE$ là hình bình hành. Chứng minh rằng các đường thẳng $FX$ , $EM$ , $BD$ đồng quy.Các cách giải: 1
Bài 2Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho mỗi ô của bảng $n\times n$ có thể được điền bằng một trong các chữ cái $I$ , $M$ , $O$ theo cách sau: trong mỗi hàng và mỗi cột, một phần ba số ô là $I$ , một phần ba là $M$ , và một phần ba là $O$ ; và trên mọi đường chéo, nếu số ô trên đường chéo đó là bội của ba thì một phần ba số ô trên đường chéo đó là $I$ , một phần ba là $M$ , và một phần ba là $O$ . (Lưu ý rằng một bảng $n\times n$ có tổng cộng $4n-2$ đường chéo, theo cả hai hướng.)Các cách giải: 1
Bài 3Cho $P=A_1A_2\cdots A_k$ là một đa giác lồi trong mặt phẳng. Các đỉnh $A_1,A_2,\dots,A_k$ có tọa độ nguyên và nằm trên một đường tròn. Gọi $S$ là diện tích của $P$ . Cho một số nguyên dương lẻ $n$ sao cho bình phương độ dài mỗi cạnh của $P$ là một số nguyên chia hết cho $n$ . Chứng minh rằng $2S$ là một số nguyên chia hết cho $n$ .Các cách giải: 1
Bài 4Một tập hợp các số nguyên dương được gọi là thơm nếu nó chứa ít nhất hai phần tử và mỗi phần tử của nó có chung một ước nguyên tố với ít nhất một phần tử khác. Đặt $P(n)=n^2+n+1$ . Hỏi giá trị nhỏ nhất có thể của một số nguyên dương $b$ là bao nhiêu, sao cho tồn tại một số nguyên không âm $a$ để tập hợp $\{P(a+1),P(a+2),\dots,P(a+b)\}$ là thơm?Các cách giải: 1
Bài 5Phương trình $(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)$ được viết trên bảng, với $2016$ nhân tử bậc nhất ở mỗi vế. Hỏi giá trị nhỏ nhất có thể của $k$ là bao nhiêu để có thể xóa đúng $k$ trong số $4032$ nhân tử bậc nhất này sao cho mỗi vế còn lại ít nhất một nhân tử và phương trình thu được không có nghiệm thực?Các cách giải: 1
Bài 6Cho $n\ge2$ đoạn thẳng trong mặt phẳng sao cho hai đoạn thẳng bất kỳ đều cắt nhau, và không có ba đoạn thẳng nào đồng quy tại một điểm. Geoff phải chọn một đầu mút của mỗi đoạn thẳng và đặt một con ếch lên đó, hướng về đầu mút còn lại. Sau đó anh ta sẽ vỗ tay $n-1$ lần; mỗi lần vỗ tay, mọi con ếch lập tức nhảy tới điểm giao tiếp theo trên đoạn thẳng của nó (các con ếch không bao giờ đổi hướng nhảy). Geoff muốn đặt các con ếch sao cho không có hai con nào từng chiếm cùng một điểm giao tại cùng một thời điểm. (a) Chứng minh rằng Geoff luôn có thể thực hiện được mong muốn của mình nếu $n$ lẻ. (b) Chứng minh rằng Geoff không bao giờ có thể thực hiện được mong muốn của mình nếu $n$ chẵn.Các cách giải: 1