国际数学奥林匹克 · 2016年

试题

第1题在凸五边形 $ABCDE$ 中， $\angle B>90^\circ$ ，设 $F$ 为线段 $AC$ 上一点，满足 $\angle FBC=90^\circ$ 。已知 $FA=FB$ ， $DA=DC$ ， $EA=ED$ ，且射线 $AC$ 与 $AD$ 将角 $\angle BAE$ 三等分。设 $M$ 为 $CF$ 的中点， $X$ 为使得 $AMXE$ 是平行四边形的点。证明直线 $FX$ 、 $EM$ 、 $BD$ 共点。解法: 1
第2题求所有整数 $n$ ，使得 $n\times n$ 表格的每个格子可以填入字母 $I$ 、 $M$ 、 $O$ 之一，满足：在每一行和每一列中，恰好三分之一的格子是 $I$ ，三分之一是 $M$ ，三分之一是 $O$ ；并且在任意一条对角线上，如果该对角线上的格子数是三的倍数，那么该对角线上也恰好三分之一是 $I$ ，三分之一是 $M$ ，三分之一是 $O$ 。（注意 $n\times n$ 表格两个方向共有 $4n-2$ 条对角线。）解法: 1
第3题设 $P=A_1A_2\cdots A_k$ 是平面上的一个凸多边形，其顶点 $A_1,A_2,\dots,A_k$ 均为整点且共圆。设 $S$ 为 $P$ 的面积。已知一个正奇数 $n$ ，使得 $P$ 每条边长的平方都是能被 $n$ 整除的整数。证明 $2S$ 是能被 $n$ 整除的整数。解法: 1
第4题如果一个正整数集合至少包含两个元素，且其中每个元素都与其他至少一个元素有公共素因数，就称这个集合是芳香的。设 $P(n)=n^2+n+1$ 。求最小的正整数 $b$ ，使得存在非负整数 $a$ ，使集合 $\{P(a+1),P(a+2),\dots,P(a+b)\}$ 是芳香的。解法: 1
第5题黑板上写有方程 $(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)$ ，两边各有 $2016$ 个一次因子。求最小的 $k$ ，使得可以恰好擦去这 $4032$ 个一次因子中的 $k$ 个，令两边各至少保留一个因子，且所得方程没有实数解。解法: 1
第6题平面上有 $n\ge2$ 条线段，任意两条都相交，且没有三条线段共点。Geoff 必须为每条线段选定一个端点，在那里放一只青蛙，面朝另一个端点。然后他会拍手 $n-1$ 次；每拍一次手，每只青蛙都立即向前跳到其所在线段上的下一个交点（青蛙从不改变跳跃的方向）。Geoff 希望这样放置青蛙，使得任何两只青蛙都不会在同一时刻占据同一个交点。(a) 证明当 $n$ 为奇数时，Geoff 总能实现他的愿望。(b) 证明当 $n$ 为偶数时，Geoff 永远无法实现他的愿望。解法: 1