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第2题

求所有整数 nn，使得 n×nn\times n 表格的每个格子可以填入字母 II、MM、OO 之一，满足：在每一行和每一列中，恰好三分之一的格子是 II，三分之一是 MM，三分之一是 OO；并且在任意一条对角线上，如果该对角线上的格子数是三的倍数，那么该对角线上也恰好三分之一是 II，三分之一是 MM，三分之一是 OO。（注意 n×nn\times n 表格两个方向共有 4n−24n-2 条对角线。）
第 1/5 步：构造：一个显式的合法 9×99\times9 图块
上一步下一步
通俗地说

直接检验下表可知：每行、每列以及长度为三的倍数的每条对角线都各含三分之一的每个字母。周期性重复该图块即可得到所有 99 的倍数。

A valid 9×9 tile, repeated periodically\text{A valid }9\times9\text{ tile, repeated periodically}
详细分析

使用如下 9×99\times9 图块： IOMOMIMOI IOMOIMOIM IMIMOMIOO OIOIOMMIM MOIIMOIOM MIMOIOOMI OIOMMIMIO MMOIIOOMI OMIMOIIMO。直接统计九行、九列以及长度为 33、66 或 99 的每条对角线，可验证每个字母恰好占三分之一。沿两个方向以周期 99 重复该图块。任何长度为三的倍数的对角线段都分解为相同步长三的周期检验中的完整剩余类，因此也各含三分之一的每个字母。 33