Bài 2

Gọi

\mathbb{R}

là tập hợp các số thực. Xác định tất cả các hàm số

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

sao cho với mọi số thực

x

và

y

f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).

Bước 1 trên 6: Nghiệm tầm thường và một đối xứng dấu

Bước trước Bước tiếp

f\equiv 0,\quad f(x)=x-1,\quad f(x)=1-x

Phân tích chi tiết

Thay trực tiếp kiểm tra được $f\equiv 0$ , $f(x)=x-1$ , và $f(x)=1-x$ đều thỏa $f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)$ với mọi $x,y$ . Ngoài ra, nếu $f$ là một nghiệm thì $-f$ cũng vậy (thay $f$ bởi $-f$ biến phương trình thành $-f((-f(x))(-f(y)))-f(x+y)=-f(xy)$ , chính là phương trình đó cho $-f$ , dùng $(-f(x))(-f(y))=f(x)f(y)$ ). Vậy chỉ cần tìm mọi nghiệm với $f(0)\ge 0$ , còn mọi nghiệm khác là số đối của một nghiệm trong số đó.