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第4問

次の性質をもつ正整数の組 (h,s)(h,s) をすべて求めよ。hh 本の水平線と、(i)水平でなく、(ii)互いに平行でなく、(iii)h+sh+s 本のうち3本が一点で交わらない ss 本の直線を引いたとき、できる領域の数が 19921992 となるものを求めよ。
ステップ 1/5: 非水平線だけの場合の領域数を数える
a0,0=1,a0,s=a0,s−1+sa_{0,0}=1,\qquad a_{0,s}=a_{0,s-1}+s
詳しい解説

s−1s-1 本に新しい非水平線を加えると、既存の線との s−1s-1 個の異なる交点によって ss 個の部分に分かれ、各部分が新しい領域を1つ作る。a0,0=1a_{0,0}=1 から a0,s=1+1+⋯+s=s2+s+22a_{0,s}=1+1+\cdots+s=\frac{s^2+s+2}{2} を得る。