第3問

$A = (0, 0)$ とし、半直線 $AN$ が $x$ 軸の正の向きに重なるように直交座標をとる。このとき直線 $AB$ と $AC$ は $x$ 軸に関して対称で、方程式は $y = mx$ と $y = -mx$ となるから、$B = (b, mb)$、$C = (c, -mc)$ とおける。$b = c$ ならば $AB = AC$ となって $Q, N, M$ が一致し主張は明らかであるから、以下 $b \neq c$ とする。すると直線 $BC$ の傾きは $k_{BC} = \frac{mb - (-mc)}{b - c} = \frac{m(b+c)}{b-c}$ となり、中点 $M = \left(\frac{b+c}{2}, \frac{m(b-c)}{2}\right)$ より中線 $AM$ の傾きは $k_{AM} = \frac{m(b-c)}{b+c}$ となる。